حل بكالوريا 2026 رياضيات شعبة علوم تجريبية — الموضوع الأول مفصّل خطوة بخطوة

1. عدد الحالات الممكنة: $C_9^3=\frac{9\times 8\times 7}{6}=84$.
2. نفس الرقم: ثلاث كريات تحمل $2$: $C_4^3=4$، أو ثلاث كريات تحمل $3$: $C_3^3=1$ (لا توجد إلا كريتان تحملان $1$).
3. الحالات الملائمة: $4+1=5$.
4. $P(A)=\frac{5}{84}$.

الجواب $P(A)=\frac{C_4^3+C_3^3}{C_9^3}=\frac{5}{84}$

انتبه نسيان إحدى الحالتين (كلها 2 أو كلها 3).

العدّ في السحب: التوفيقات والترتيبات

1. عدد الحالات الممكنة: $C_9^3=84$.
2. نأخذ كرية من كل رقم: $C_2^1\times C_4^1\times C_3^1=2\times 4\times 3=24$.
3. $P(B)=\frac{24}{84}=\frac{2}{7}$.

الجواب $P(B)=\frac{C_2^1\times C_4^1\times C_3^1}{C_9^3}=\frac{2}{7}$

العدّ في السحب: التوفيقات والترتيبات

1. الأرقام الزوجية: الكريات الأربع التي تحمل $2$. الأرقام الفردية: $2+3=5$ كريات.
2. المجموع زوجي في حالتين: ثلاث كريات زوجية، أو كريتان فرديتان وكرية زوجية.
3. $C_4^3+C_5^2\times C_4^1=4+10\times 4=44$.
4. $P(C)=\frac{44}{84}=\frac{11}{21}$.

الجواب $P(C)=\frac{C_4^3+C_4^1\times C_5^2}{C_9^3}=\frac{11}{21}$

العدّ في السحب: التوفيقات والترتيبات

1. $A$: ثلاث كريات $2$ (مجموعها $6$) أو ثلاث كريات $3$ (مجموعها $9$).
2. $6$ زوجي و $9$ فردي، إذن $A\cap C$: «ثلاث كريات تحمل الرقم $2$».
3. $P(A\cap C)=\frac{C_4^3}{C_9^3}=\frac{4}{84}=\frac{1}{21}$.

الجواب $A\cap C$: ثلاث كريات تحمل $2$، $P(A\cap C)=\frac{C_4^3}{C_9^3}=\frac{4}{84}=\frac{1}{21}$.

العدّ في السحب: التوفيقات والترتيباتالاحتمال الشرطي وشجرة الاحتمالات

1. $P_A(C)=\frac{P(A\cap C)}{P(A)}=\frac{1/21}{5/84}$.
2. $=\frac{1}{21}\times \frac{84}{5}=\frac{4}{5}$.

الجواب $P_A(C)=\frac{4}{5}$

الاحتمال الشرطي وشجرة الاحتمالات

1. $P(X=0)=\frac{C_5^3}{84}=\frac{10}{84}=\frac{5}{42}$.
2. $P(X=1)=\frac{C_4^1\times C_5^2}{84}=\frac{40}{84}=\frac{20}{42}$.
3. $P(X=2)=\frac{C_4^2\times C_5^1}{84}=\frac{30}{84}=\frac{15}{42}$.
4. $P(X=3)=\frac{C_4^3}{84}=\frac{4}{84}=\frac{2}{42}$. تحقق: $\frac{5+20+15+2}{42}=1$.

الجواب $\frac{5}{42}$ ، $\frac{20}{42}$ ، $\frac{15}{42}$ ، $\frac{2}{42}$

قانون الاحتمال: الأمل الرياضي والتباينالعدّ في السحب: التوفيقات والترتيبات

1. $E(X)=0\times \frac{5}{42}+1\times \frac{20}{42}+2\times \frac{15}{42}+3\times \frac{2}{42}$.
2. $=\frac{20+30+6}{42}=\frac{56}{42}=\frac{4}{3}$.

الجواب $E(X)=\frac{4}{3}$

قانون الاحتمال: الأمل الرياضي والتباين

1. بعد الإضافة: $n+9$ كرية، منها $4+3=7$ لا تحمل الرقم $1$.
2. سحب على التوالي دون إرجاع: $P=\frac{A_7^2}{A_{n+9}^2}=\frac{42}{(n+9)(n+8)}$.
3. $\frac{42}{(n+9)(n+8)}=\frac{1}{5}$ يعني $(n+9)(n+8)=210=15\times 14$.
4. $n+8=14$، إذن $n=6$ (الحل الآخر $n=-23$ مرفوض لأن $n$ طبيعي).

الجواب $n=6$

العدّ في السحب: التوفيقات والترتيبات

1. الفكرة: إذا كان $a\times b=0$ فإمّا $a=0$ وإمّا $b=0$، لأن ضرب عددين غير معدومين لا يعطي صفراً أبداً. إذن نقسم المسألة إلى معادلتين صغيرتين.
2. القوس الأول: $iz+4=0$ يعني $iz=-4$. لنتخلّص من $i$ نضرب الطرفين في $-i$، لأن $i\times (-i)=1$. فنجد $z=4i$.
3. القوس الثاني: $z^2-4z+16=0$ معادلة من الدرجة الثانية، فنحسب المميّز كالعادة: $\Delta =(-4{)}^2-4\times 1\times 16=-48$.
4. $\Delta$ سالب. في الأعداد الحقيقية نتوقف هنا (انظر الرسم: المنحنى لا يلمس المحور). أما في $\mathbb{C}$ فللعدد السالب جذر بفضل $i$، لأن $i^2=-1$: $-48=(4i\sqrt{3}{)}^2$.
5. نستعمل نفس القانون المعتاد: $z=\frac{4\pm 4i\sqrt{3}}{2}=2\pm 2i\sqrt{3}$. الحلّان لا يختلفان إلا في الإشارة أمام $i$، ونسمّيهما مترافقين.
6. نجمع كل الحلول: $S=\{4i;2-2i\sqrt{3};2+2i\sqrt{3}\}$.

الجواب $S=\{4i;2-2i\sqrt{3};2+2i\sqrt{3}\}$ ، $\Delta =-48$

المعادلات من الدرجة الثانية في المجموعة C

1. $z_B=i\times 4=4i=4\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$.
2. $|z_C|=\sqrt{4+12}=4$، $\cos \theta =\frac{1}{2}$ و $\sin \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$، إذن $\theta =-\frac{\pi }{3}$.
3. $z_D=-i(2-2i\sqrt{3})=-2\sqrt{3}-2i$.
4. $|z_D|=4$، $\cos \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ و $\sin \theta =-\frac{1}{2}$، إذن $\theta =\frac{7\pi }{6}$ (أي $-\frac{5\pi }{6}$).

الجواب $z_B=4\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$ ، $z_C=4\left(\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)\right)$ ، $z_D=4\left(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6}\right)$ (أو العمدة $-\frac{5\pi }{6}$)

الشكل الأسي لعدد مركب

1. $A(4;0)$ ، $B(0;4)$ ، $C(2;-2\sqrt{3})$ ، $D(-2\sqrt{3};-2)$ (أو بالمدور والعمدة من السؤال السابق).
2. $|z_A|=|z_B|=|z_C|=|z_D|=4$، أي $OA=OB=OC=OD=4$.
3. النقط تنتمي إلى الدائرة التي مركزها $O$ ونصف قطرها $4$.

الجواب $|z_A|=|z_B|=|z_C|=|z_D|=4$: النقط على الدائرة التي مركزها $O$ ونصف قطرها $4$.

الأعداد المركبة والهندسة

1. $z_D-z_B=-2\sqrt{3}-2i-4i=-2\sqrt{3}-6i$.
2. $\sqrt{3}(z_C-z_A)=\sqrt{3}(-2-2i\sqrt{3})=-2\sqrt{3}-6i$.
3. إذن $\overrightarrow{BD}=\sqrt{3}\overrightarrow{AC}$: الشعاعان مرتبطان خطياً والمستقيمان $(BD)$ و $(AC)$ متوازيان.

الجواب $z_D-z_B=-2\sqrt{3}-6i=\sqrt{3}(z_C-z_A)$، إذن $\overrightarrow{BD}=\sqrt{3}\overrightarrow{AC}$ و $(BD)\parallel (AC)$.

الأعداد المركبة والهندسة

1. $z_B-z_A=-4+4i$، إذن $|z_B-z_A|=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$.
2. $z_D-z_C=(-2-2\sqrt{3})+i(2\sqrt{3}-2)$، و $(2+2\sqrt{3}{)}^2+(2\sqrt{3}-2{)}^2=2(4+12)=32$، إذن $|z_D-z_C|=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.

الجواب $|z_B-z_A|=|z_D-z_C|=4\sqrt{2}$

الأعداد المركبة والهندسة

1. $\overrightarrow{BD}=\sqrt{3}\overrightarrow{AC}$: الضلعان $[AC]$ و $[BD]$ متوازيان وطولاهما مختلفان ($\sqrt{3}\ne 1$)، فهو شبه منحرف وليس متوازي أضلاع.
2. $AB=CD=4\sqrt{2}$: الساقان متقايستان، إذن $ABDC$ شبه منحرف متساوي الساقين.

الجواب $ABDC$ شبه منحرف متساوي الساقين.

الأعداد المركبة والهندسة

1. $z_A+z_B+z_C+z_D=4+4i+2-2i\sqrt{3}-2\sqrt{3}-2i=(6-2\sqrt{3})+i(2-2\sqrt{3})$.
2. $z_G=\frac{(6-2\sqrt{3})+i(2-2\sqrt{3})}{4}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}+i\frac{1-\sqrt{3}}{2}$.

الجواب $z_G=\frac{z_A+z_B+z_C+z_D}{4}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}+i\frac{1-\sqrt{3}}{2}$

الأعداد المركبة والهندسة

1. $z_D-z_A=-2\sqrt{3}-2i-4=-4-2\sqrt{3}-2i$.
2. $i(z_B-z_C)=i(-2+4i+2i\sqrt{3})=-4-2\sqrt{3}-2i$، إذن $\frac{z_D-z_A}{z_B-z_C}=i$.
3. $i^n=e^{in\pi /2}$ حقيقي إذا وفقط إذا $\frac{n\pi }{2}=k\pi$، أي $n=2k$.
4. مثلاً $i^2=-1$ و $i^4=1$ حقيقيان، و $i^1=i$ و $i^3=-i$ ليسا كذلك.

الجواب $\frac{z_D-z_A}{z_B-z_C}=i$، و $i^n$ حقيقي من أجل $n=2k$ ، $k\in \mathbb{N}$.

الشكل الأسي لعدد مركب

1. $f^{\prime }(x)=\frac{4(x+2)-4x\times 1}{(x+2{)}^2}=\frac{8}{(x+2{)}^2}$.
2. $f^{\prime }(x)>0$ على $]-2;+\infty [$، إذن $f$ متزايدة تماماً على هذا المجال.

الجواب $f^{\prime }(x)=\frac{8}{(x+2{)}^2}>0$: $f$ متزايدة تماماً على $]-2;+\infty [$.

المشتقة واتجاه التغير

1. $u_1=f(4)=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}$.
2. $u_2=f\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{32/3}{14/3}=\frac{32}{14}=\frac{16}{7}$.
3. $u_0=4>u_1\approx 2,67>u_2\approx 2,29$: نخمّن أنّ $(u_n)$ متناقصة تماماً.

الجواب $u_1=\frac{8}{3}$ ، $u_2=\frac{16}{7}$. التخمين: $(u_n)$ متناقصة تماماً.

اتجاه تغير متتالية ونهايتها

1. من أجل $n=0$: $u_0=4>2$، الخاصية صحيحة.
2. نفرض أنّ $u_n>2$ ونبرهن أنّ $u_{n+1}>2$.
3. $f$ متزايدة تماماً على $]-2;+\infty [$، إذن $u_n>2$ يعطي $f(u_n)>f(2)=\frac{8}{4}=2$.
4. أي $u_{n+1}>2$. حسب مبدأ الاستدلال بالتراجع: $u_n>2$ من أجل كل $n$ طبيعي.

الجواب $u_0=4>2$؛ وإذا $u_n>2$ فإن $f(u_n)>f(2)=2$ لأن $f$ متزايدة تماماً، أي $u_{n+1}>2$.

البرهان بالتراجع

1. $u_{n+1}-u_n=\frac{4u_n}{u_n+2}-u_n=\frac{4u_n-u_n^2-2u_n}{u_n+2}=\frac{u_n(2-u_n)}{2+u_n}$.
2. $u_n>2$: إذن $u_n>0$ ، $2+u_n>0$ و $2-u_n<0$، فالفرق سالب و $(u_n)$ متناقصة تماماً.

الجواب $u_{n+1}-u_n=\frac{u_n(2-u_n)}{2+u_n}<0$: $(u_n)$ متناقصة تماماً.

اتجاه تغير متتالية ونهايتها

1. $u_{n+1}-2=\frac{4u_n-2u_n-4}{u_n+2}=\frac{2(u_n-2)}{u_n+2}$.
2. $v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}}=\frac{2(u_n-2)}{u_n+2}\times \frac{u_n+2}{4u_n}=\frac{1}{2}\times \frac{u_n-2}{u_n}=\frac{1}{2}{v}_n$.
3. إذن $(v_n)$ هندسية أساسها $\frac{1}{2}$ وحدّها الأول $v_0=\frac{4-2}{4}=\frac{1}{2}$.

الجواب $v_{n+1}=\frac{1}{2}{v}_n$ ، و $v_0=\frac{1}{2}$.

المتتاليات الهندسية

1. $v_0=\frac{1}{2}$ و $q=\frac{1}{2}$.
2. $v_n=v_0{q}^n=\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}$.

الجواب $v_n=\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}$

المتتاليات الهندسية

1. $v_n=\frac{u_n-2}{u_n}=1-\frac{2}{u_n}$، إذن $\frac{2}{u_n}=1-v_n$.
2. $u_n=\frac{2}{1-v_n}=\frac{2}{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}}$. تحقق: $u_0=\frac{2}{1/2}=4$.

الجواب $u_n=\frac{2}{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}}$

المتتاليات الهندسية

1. $\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}=0$ لأن $0<\frac{1}{2}<1$.
2. $\lim u_n=\frac{2}{1-0}=2$.

الجواب ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=2$

اتجاه تغير متتالية ونهايتها

1. $S_n=v_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1}{2}\times \frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}$.
2. $S_n=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}$.

الجواب $S_n=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}$

مجموع حدود متتابعة لمتتالية

1. $1-v_k=\frac{2}{u_k}$، إذن $\frac{1}{u_k}=\frac{1}{2}(1-v_k)$.
2. $T_n=\frac{1}{2}\left[(n+1)-S_n\right]=\frac{1}{2}\left[n+1-1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}\right]$.
3. $T_n=\frac{1}{2}n+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+2}$.

الجواب $\frac{1}{u_k}=\frac{1-v_k}{2}$، إذن $T_n=\frac{n+1}{2}-\frac{S_n}{2}=\frac{1}{2}n+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+2}$.

مجموع حدود متتابعة لمتتالية

1. $g^{\prime }(x)=2-\frac{4}{x}=\frac{2x-4}{x}$.
2. $x>0$: إشارة $g^{\prime }(x)$ هي إشارة $2x-4$: سالبة على $]0;2[$، معدومة عند $2$، موجبة على $]2;+\infty [$.
3. $g$ متناقصة تماماً على $]0;2]$ ومتزايدة تماماً على $[2;+\infty [$، و $g(2)=2-4\ln 2$.
4. النهايتان: ${\lim }_{x\to 0^{+}}g(x)=+\infty$ (لأن $-4\ln x\to +\infty$) و ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=\lim x\left(2-\frac{2}{x}-\frac{4\ln x}{x}\right)=+\infty$.

الجواب $g^{\prime }(x)=\frac{2x-4}{x}$: $g$ متناقصة تماماً على $]0;2]$ ومتزايدة تماماً على $[2;+\infty [$، وقيمتها الحدية الصغرى $g(2)=2-4\ln 2$. ${\lim }_{x\to 0}g(x)=+\infty$ و ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=+\infty$.

المشتقة واتجاه التغيرالدالة اللوغاريتمية النيبيرية

1. $g(1)=2-2-4\ln 1=0-4\times 0=0$.

الجواب $g(1)=0$

الدالة اللوغاريتمية النيبيرية

1. $g$ مستمرة ومتزايدة تماماً على $[2;+\infty [$، ومنه على $[3,5;3,6]$.
2. $g(3,5)=5-4\ln 3,5\approx -0,01$ و $g(3,6)=5,2-4\ln 3,6\approx 0,08$.
3. $g(3,5)\times g(3,6)<0$: حسب مبرهنة القيم المتوسطة المعادلة $g(x)=0$ تقبل حلاً وحيداً $\alpha$ في $]3,5;3,6[$.

الجواب $g$ مستمرة ومتزايدة تماماً على $[3,5;3,6]$ و $g(3,5)\approx -0,01<0$ ، $g(3,6)\approx 0,08>0$: حل وحيد $\alpha$.

مبرهنة القيم المتوسطة والحل الوحيد

1. $g$ متناقصة على $]0;2]$ و $g(1)=0$: $g(x)>0$ على $]0;1[$ و $g(x)<0$ على $]1;2]$.
2. $g$ متزايدة على $[2;+\infty [$ و $g(\alpha )=0$: $g(x)<0$ على $[2;\alpha [$ و $g(x)>0$ على $]\alpha ;+\infty [$.

الجواب $g(x)>0$ على $]0;1[\cup ]\alpha ;+\infty [$ ، $g(x)<0$ على $]1;\alpha [$ ، و $g(1)=g(\alpha )=0$.

مبرهنة القيم المتوسطة والحل الوحيد

1. $\frac{f(x)}{x}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=x+2-4\ln x$.
2. ${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$، إذن ${\lim }_{x\to 0^{+}}(x+2-4\ln x)=+\infty$.
3. $f$ غير قابلة للاشتقاق عند $0$ من اليمين، و $(C_f)$ يقبل نصف مماس عمودي عند $O$.

الجواب ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)}{x}=+\infty$: $f$ غير قابلة للاشتقاق عند $0$ و $(C_f)$ يقبل نصف مماس عمودي في النقطة $O$.

قابلية الاشتقاق عند عدد والنقطة الزاويةالدالة اللوغاريتمية النيبيرية

1. $f(x)=x^2\left(1+\frac{2}{x}-\frac{4\ln x}{x}\right)$.
2. $\lim \frac{\ln x}{x}=0$ و $\lim \frac{2}{x}=0$، إذن القوس يؤول إلى $1$ و ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$.

الجواب ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$

الدالة اللوغاريتمية النيبيرية

1. $f^{\prime }(x)=2x+2-4\left(\ln x+x\times \frac{1}{x}\right)=2x+2-4\ln x-4=2x-2-4\ln x=g(x)$.
2. إشارة $f^{\prime }$ هي إشارة $g$: موجبة على $]0;1[$ و $]\alpha ;+\infty [$، سالبة على $]1;\alpha [$.
3. $f$ متزايدة تماماً على $[0;1]$ وعلى $[\alpha ;+\infty [$، ومتناقصة تماماً على $[1;\alpha ]$.
4. جدول التغيّرات: $f(0)=0$ ، $f(1)=1+2-0=3$ (قيمة عظمى محلية)، $f(\alpha )$ (قيمة صغرى محلية)، ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$.

الجواب $f^{\prime }(x)=g(x)$: $f$ متزايدة تماماً على $[0;1]$ وعلى $[\alpha ;+\infty [$، متناقصة تماماً على $[1;\alpha ]$. $f(0)=0$ ، $f(1)=3$ ، $f(\alpha )$ ، ${\lim }_{+\infty }f=+\infty$.

المشتقة واتجاه التغير

1. $f^{\prime \prime }(x)=g^{\prime }(x)=\frac{2x-4}{x}$، تنعدم عند $x=2$ مغيّرة إشارتها.
2. $f(2)=4+4-8\ln 2=8-8\ln 2$.
3. إذن $(C_f)$ يقبل نقطة انعطاف $A(2;8-8\ln 2)$.

الجواب $f^{\prime \prime }(x)=g^{\prime }(x)$ تنعدم عند $2$ مغيّرة إشارتها: $A(2;8-8\ln 2)$.

القراءة البيانية ونقطة الانعطاف

1. $f^{\prime }(2)=g(2)=2-4\ln 2$ و $f(2)=8-8\ln 2$.
2. $y=(2-4\ln 2)(x-2)+8-8\ln 2=(2-4\ln 2)x-4+8\ln 2+8-8\ln 2$.
3. $(T):y=(2-4\ln 2)x+4$.

الجواب $(T):y=(2-4\ln 2)x+4$

معادلة المماس

1. نرسم $(T):y=(2-4\ln 2)x+4$ عبر النقطتين $(0;4)$ و $(2;8-8\ln 2\approx 2,45)$.
2. النقط المميزة: $O(0;0)$ مع نصف مماس عمودي، القيمة العظمى $(1;3)$، نقطة الانعطاف $A(2;2,45)$، القيمة الصغرى $(\alpha ;1,7)$ مع $\alpha \approx 3,5$.
3. نمرّر المنحنى عبرها: يصعد من $O$ إلى $(1;3)$، ينزل مخترقاً $(T)$ عند $A$ حتى $(\alpha ;1,7)$، ثم يصعد نحو $+\infty$.

الجواب المنحنى يبدأ من $O$ بنصف مماس عمودي، يبلغ $3$ عند $x=1$، ينزل إلى $f(\alpha )\approx 1,7$ عند $\alpha \approx 3,5$، ثم يصعد نحو $+\infty$؛ ويخترق $(T)$ في $A(2;8-8\ln 2)$.

معادلة المماسالمشتقة واتجاه التغير

1. الحلول هي فواصل نقط تقاطع $(C_f)$ مع المستقيم الأفقي $y=m$.
2. القيمة العظمى المحلية $3$ والصغرى $f(\alpha )\approx 1,7$: من أجل $f(\alpha )<m<3$ نجد ثلاث نقط تقاطع (في $]0;1[$ ، $]1;\alpha [$ و $]\alpha ;+\infty [$).

الجواب $f(\alpha )<m<3$

استنتاج منحنى من آخر والمناقشة البيانية

1. نضع $u(x)=\ln x$ ، $v^{\prime }(x)=x$، إذن $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ ، $v(x)=\frac{1}{2}{x}^2$.
2. ${\int }_1^{e}x\ln xdx={\left[\frac{1}{2}{x}^2\ln x\right]}_1^e-{\int }_1^e\frac{1}{2}xdx={\left[\frac{1}{2}{x}^2\ln x-\frac{1}{4}{x}^2\right]}_1^e$.
3. $=\left(\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}\right)-\left(0-\frac{1}{4}\right)=\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{e^2+1}{4}$.