اتجاه تغير متتالية ونهايتها

ندرس اتجاه تغير متتالية بإشارة الفرق $u_{n + 1} - u_{n}$ ، ونحسب نهايتها غالباً انطلاقاً من نهاية $q^{n}$ .

تسيير واقتصاد، رياضيات، علوم تجريبية، تقني رياضي · 30 دقيقة · قبله: المتتاليات الهندسية

بأساس بين 0 و 1 تتناقص الحدود وتقترب من 0.

الفكرة

1
إذا كان $u_{n + 1} - u_{n} > 0$ لكل $n$ فالمتتالية متزايدة تماماً، وإذا كان $< 0$ فهي متناقصة تماماً.
2
إذا كان $- 1 < q < 1$ فإن $lim_{n \to + \infty} q^{n} = 0$ ، وإذا كان $q > 1$ فإن $lim q^{n} = + \infty$ .
3
إذا كانت $u_{n} = f (v_{n})$ و $f$ رتيبة، فاتجاه تغير $(u_{n})$ يُستنتج من اتجاه تغير $(v_{n})$ ومن رتابة $f$ .
4
متتالية لها نهاية منتهية عند $+ \infty$ تسمى متقاربة.

$u_{n} = 3 (\frac{1}{2})^{n} + 1$ . ادرس اتجاه تغير $(u_{n})$ واحسب نهايتها.

$u_{n + 1} - u_{n} = 3 (\frac{1}{2})^{n} (\frac{1}{2} - 1) = - \frac{3}{2} (\frac{1}{2})^{n} < 0$ .
إذن $(u_{n})$ متناقصة تماماً.
$0 < \frac{1}{2} < 1$ فـ $lim (\frac{1}{2})^{n} = 0$ ، ومنه $lim u_{n} = 1$ .

انتبه

استنتاج اتجاه التغير من حساب الحدود الأولى فقط: يجب إثباته من أجل كل $n$ .
الخلط بين $lim q^{n} = 0$ (لما $∣ q ∣ < 1$ ) و $lim q^{n} = + \infty$ (لما $q > 1$ ).

2 تمارين من الدرس و23 سؤالاً من امتحانات رسمية، مع تصحيح وعلامة.

إتجاه تغير متتالية عددية و تقاربها ونهايتها

الاستاذ نورالدين

إتجاه تغير متتالية · المتتاليات الدرس 02 · جميع الشعب العلمية + تسيير

الأستاذ عبد الباسط