حل بكالوريا 2026 رياضيات شعبة علوم تجريبية — الموضوع الثاني مفصّل خطوة بخطوة

1. $\frac{1}{10}+a+2a=1$ يعني $3a=\frac{9}{10}$.
2. $a=\frac{3}{10}$.

الجواب $a=\frac{3}{10}$

قانون الاحتمال: الأمل الرياضي والتباين

1. عدد الكريات = الاحتمال $\times 10$.
2. خضراء: $\frac{1}{10}\times 10=1$ ، حمراء: $\frac{3}{10}\times 10=3$ ، بيضاء: $\frac{6}{10}\times 10=6$.

الجواب خضراء: $1$ ، حمراء: $3$ ، بيضاء: $6$

العدّ في السحب: التوفيقات والترتيبات

1. $C_{10}^3=120$.
2. $C_3^1\times C_7^2=3\times 21=63$.
3. $P(A)=\frac{63}{120}=\frac{21}{40}$.

الجواب $P(A)=\frac{C_3^1\times C_7^2}{C_{10}^3}=\frac{21}{40}$

العدّ في السحب: التوفيقات والترتيبات

1. حمراوان والثالثة غير حمراء: $C_3^2\times C_7^1=3\times 7=21$.
2. بيضاوان والثالثة غير بيضاء: $C_6^2\times C_4^1=15\times 4=60$ (خضراوان مستحيل: كرية خضراء واحدة).
3. $P(B)=\frac{21+60}{120}=\frac{81}{120}=\frac{27}{40}$.

الجواب $P(B)=\frac{C_3^2\times C_7^1+C_6^2\times C_4^1}{C_{10}^3}=\frac{27}{40}$

العدّ في السحب: التوفيقات والترتيبات

1. $\bar{C}$: الكريات الثلاث من نفس اللون: $C_6^3+C_3^3=20+1=21$.
2. $P(C)=1-\frac{21}{120}=\frac{99}{120}=\frac{33}{40}$.

الجواب $P(C)=1-\frac{C_6^3+C_3^3}{C_{10}^3}=\frac{33}{40}$

العدّ في السحب: التوفيقات والترتيبات

1. نعلم أنّ الخضراء لم تُسحب: الكون $C_9^3=84$ حالة.
2. بيضاوان بالضبط والثالثة حمراء: $C_6^2\times C_3^1=15\times 3=45$.
3. الاحتمال: $\frac{45}{84}=\frac{15}{28}$.

الجواب $\frac{C_6^2\times C_3^1}{C_9^3}=\frac{15}{28}$

الاحتمال الشرطي وشجرة الاحتمالاتالعدّ في السحب: التوفيقات والترتيبات

1. ثلاث كريات بلونين بالضبط: كريتان من لون وكرية من لون آخر.
2. هذا هو الحدث $B$، إذن $P(X=2)=P(B)=\frac{27}{40}$.

الجواب $(X=2)=B$، إذن $P(X=2)=P(B)=\frac{27}{40}$.

قانون الاحتمال: الأمل الرياضي والتباين

1. $X=1$: الكريات الثلاث من نفس اللون، $P(X=1)=\frac{21}{120}=\frac{7}{40}$.
2. $X=3$: كرية من كل لون، $P(X=3)=\frac{1\times 3\times 6}{120}=\frac{18}{120}=\frac{6}{40}$. تحقق: $7+27+6=40$.

الجواب $P(X=1)=\frac{7}{40}$ ، $P(X=2)=\frac{27}{40}$ ، $P(X=3)=\frac{6}{40}$

قانون الاحتمال: الأمل الرياضي والتباينالعدّ في السحب: التوفيقات والترتيبات

1. $E(X)=1\times \frac{7}{40}+2\times \frac{27}{40}+3\times \frac{6}{40}=\frac{7+54+18}{40}=\frac{79}{40}$.

الجواب $E(X)=\frac{79}{40}$

قانون الاحتمال: الأمل الرياضي والتباين

1. $(-1+i\sqrt{3}{)}^2=1-2i\sqrt{3}+(i\sqrt{3}{)}^2=1-2i\sqrt{3}-3=-2-2i\sqrt{3}$.
2. الجذران التربيعيان لـ $-2-2i\sqrt{3}$ هما $-1+i\sqrt{3}$ ومعاكسه $1-i\sqrt{3}$.

الجواب $(-1+i\sqrt{3}{)}^2=-2-2i\sqrt{3}$؛ الجذران التربيعيان: $-1+i\sqrt{3}$ و $1-i\sqrt{3}$.

المعادلات من الدرجة الثانية في المجموعة C

1. $(-2-2i\sqrt{3})+\alpha (-1+i\sqrt{3})+4=0$، أي $(2-\alpha )+i\sqrt{3}(\alpha -2)=0$.
2. الجزآن معدومان: $\alpha =2$.

الجواب $\alpha =2$

المعادلات من الدرجة الثانية في المجموعة C

1. المعاملات حقيقية، إذن مرافق الحل حل: $\overline{-1+i\sqrt{3}}=-1-i\sqrt{3}$.
2. تحقق: جداء الحلين $|z_1{|}^2=4$ ومجموعهما $-2=-\alpha$.

الجواب الحل الآخر: $-1-i\sqrt{3}$

المعادلات من الدرجة الثانية في المجموعة C

1. $|z_1|=\sqrt{1+3}=2$، $\cos \theta =-\frac{1}{2}$ ، $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$: $\theta =\frac{2\pi }{3}$.
2. $z_2=\overline{z_1}$: $|z_2|=2$ و $\arg z_2=-\frac{2\pi }{3}$.
3. $|z_3|=\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2$، $\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$ ، $\sin \theta =-\frac{\sqrt{2}}{2}$: $\theta =-\frac{\pi }{4}$.

الجواب $z_1=2\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)$ ، $z_2=2\left(\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)+i\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right)\right)$ ، $z_3=2\left(\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right)$

الشكل الأسي لعدد مركب

1. $|L|=\frac{2\times 2}{2}=2$.
2. $\arg L=\frac{2\pi }{3}+\left(-\frac{\pi }{4}\right)-\left(-\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{8\pi -3\pi +8\pi }{12}=\frac{13\pi }{12}$.

الجواب $L=2\left(\cos \frac{13\pi }{12}+i\sin \frac{13\pi }{12}\right)$

الشكل الأسي لعدد مركب

1. $z_1{z}_3=\sqrt{2}(-1+i\sqrt{3})(1-i)=\sqrt{2}\left[(\sqrt{3}-1)+i(1+\sqrt{3})\right]$.
2. $L=\frac{z_1{z}_3\times \overline{z_2}}{|z_2{|}^2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\left[(\sqrt{3}-1)+i(\sqrt{3}+1)\right](-1+i\sqrt{3})$.
3. $\left[(\sqrt{3}-1)+i(\sqrt{3}+1)\right](-1+i\sqrt{3})=(-2-2\sqrt{3})+i(2-2\sqrt{3})$.
4. $L=\frac{\sqrt{2}}{4}\left[(-2-2\sqrt{3})+i(2-2\sqrt{3})\right]=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}+i\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$.

الجواب $L=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}+i\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$

الشكل الأسي لعدد مركب

1. بالمطابقة: $2\cos \frac{13\pi }{12}=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$ و $2\sin \frac{13\pi }{12}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$.
2. $\cos \frac{13\pi }{12}=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ و $\sin \frac{13\pi }{12}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.

الجواب $\cos \frac{13\pi }{12}=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ و $\sin \frac{13\pi }{12}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

الشكل الأسي لعدد مركب

1. بيانياً: $(C_f)$ يصعد على $[-2;0]$، إذن $f$ متزايدة تماماً عليه (وتأكيداً: $f^{\prime }(x)=\frac{14}{(2x-3{)}^2}>0$).
2. على $[-2;0]$ المنحنى $(C_f)$ يقع أسفل $(\Delta )$، ويتقاطعان في النقطة $A(-2;-2)$.
3. إذن من أجل كل $x\in [-2;0]$: $f(x)\le x$، أي $f(x)-x\le 0$.

الجواب $f$ متزايدة تماماً على $[-2;0]$؛ و $(C_f)$ أسفل $(\Delta )$ على $[-2;0]$ ويتقاطعان في $A(-2;-2)$، إذن $f(x)-x\le 0$.

المشتقة واتجاه التغير

1. من النقطة $(u_0;0)$ نرسم عموداً حتى $(C_f)$: ترتيب نقطة التقاطع $u_1=f(u_0)$.
2. من هذه النقطة نرسم أفقياً حتى $(\Delta )$، ثم عموداً إلى محور الفواصل: نحصل على $u_1$.
3. نكرر العملية للحصول على $u_2$ ثم $u_3$ (قيمها التقريبية $-0,67$ ، $-1,38$ ، $-1,79$).

الجواب من $u_0=0$ نصعد عمودياً إلى $(C_f)$، ثم أفقياً إلى $(\Delta )$، ثم نسقط على محور الفواصل: $u_1$؛ ونكرر. الحدود تتقدم نحو $-2$.

اتجاه تغير متتالية ونهايتها

1. من التمثيل: $u_0>u_1>u_2>u_3$، فنخمّن أنّ $(u_n)$ متناقصة تماماً.
2. الحدود تقترب من فاصلة نقطة التقاطع $A(-2;-2)$: نخمّن أنها متقاربة نحو $-2$.

الجواب $(u_n)$ متناقصة تماماً ومتقاربة (نحو فاصلة نقطة التقاطع $-2$).

اتجاه تغير متتالية ونهايتها

1. من أجل $n=0$: $u_0=0$ و $-2<0\le 0$، الخاصية صحيحة.
2. نفرض أنّ $-2<u_n\le 0$. $f$ متزايدة تماماً على $[-2;0]$، إذن $f(-2)<f(u_n)\le f(0)$.
3. $f(-2)=\frac{14}{-7}=-2$ و $f(0)=-\frac{2}{3}$، إذن $-2<u_{n+1}\le -\frac{2}{3}\le 0$.
4. حسب مبدأ الاستدلال بالتراجع: $-2<u_n\le 0$ من أجل كل $n$ طبيعي.

الجواب $u_0=0$ يحقق الخاصية؛ وإذا $-2<u_n\le 0$ فإن $f(-2)<f(u_n)\le f(0)$، أي $-2<u_{n+1}\le -\frac{2}{3}\le 0$.

البرهان بالتراجع

1. $u_{n+1}-u_n=\frac{-6u_n+2-u_n(2u_n-3)}{2u_n-3}=\frac{-2u_n^2-3u_n+2}{2u_n-3}=\frac{(u_n+2)(2u_n-1)}{3-2u_n}$.
2. $-2<u_n\le 0$: $u_n+2>0$ ، $2u_n-1<0$ ، $3-2u_n>0$؛ إذن $u_{n+1}-u_n<0$ و $(u_n)$ متناقصة تماماً.

الجواب $u_{n+1}-u_n=\frac{(u_n+2)(2u_n-1)}{3-2u_n}<0$: $(u_n)$ متناقصة تماماً.

اتجاه تغير متتالية ونهايتها

1. $4+2u_{n+1}=4+\frac{2(-6u_n+2)}{2u_n-3}=\frac{-4u_n-8}{2u_n-3}$.
2. $1-2u_{n+1}=1-\frac{2(-6u_n+2)}{2u_n-3}=\frac{14u_n-7}{2u_n-3}$.
3. $v_{n+1}=\frac{-4(u_n+2)}{7(2u_n-1)}=\frac{4(u_n+2)}{7(1-2u_n)}=\frac{2}{7}\times \frac{4+2u_n}{1-2u_n}=\frac{2}{7}{v}_n$.
4. $(v_n)$ هندسية أساسها $\frac{2}{7}$، وحدّها الأول $v_0=\frac{4+0}{1-0}=4$.

الجواب $v_{n+1}=\frac{2}{7}{v}_n$ ، و $v_0=4$.

المتتاليات الهندسية

1. $v_0=\frac{4+2\times 0}{1-2\times 0}=4$.
2. $v_n=4{\left(\frac{2}{7}\right)}^n$.

الجواب $v_n=4{\left(\frac{2}{7}\right)}^n$

المتتاليات الهندسية

1. $v_n-2u_n{v}_n=4+2u_n$، إذن $v_n-4=2u_n(1+v_n)$ و $u_n=\frac{v_n-4}{2v_n+2}$.
2. $u_n=\frac{4{\left(\frac{2}{7}\right)}^n-4}{8{\left(\frac{2}{7}\right)}^n+2}=\frac{2{\left(\frac{2}{7}\right)}^n-2}{4{\left(\frac{2}{7}\right)}^n+1}$. تحقق: $u_0=0$.

الجواب $u_n=\frac{v_n-4}{2v_n+2}=\frac{2{\left(\frac{2}{7}\right)}^n-2}{4{\left(\frac{2}{7}\right)}^n+1}$

المتتاليات الهندسية

1. $\lim {\left(\frac{2}{7}\right)}^n=0$ لأن $0<\frac{2}{7}<1$.
2. $\lim u_n=\frac{0-2}{0+1}=-2$.

الجواب ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=-2$

اتجاه تغير متتالية ونهايتها

1. $w_{n+1}-w_n=\ln v_{n+1}-\ln v_n=\ln \frac{v_{n+1}}{v_n}=\ln \frac{2}{7}$ (ثابت).
2. $(w_n)$ حسابية أساسها $\ln \frac{2}{7}$، وحدّها الأول $w_0=\ln v_0=\ln 4$.

الجواب $w_{n+1}-w_n=\ln \frac{2}{7}$: $(w_n)$ حسابية أساسها $\ln \frac{2}{7}$ وحدّها الأول $w_0=\ln 4$.

المتتاليات الحسابيةالدالة اللوغاريتمية النيبيرية

1. $w_n=\ln 4+n\ln \frac{2}{7}=2\ln 2+n(\ln 2-\ln 7)$.
2. $w_0+w_1+\cdots +w_n=\frac{n+1}{2}(w_0+w_n)=\frac{n+1}{2}\left[2\ln 2+2\ln 2+n(\ln 2-\ln 7)\right]$.
3. $=\frac{1}{2}(n+1)\left[(\ln 2-\ln 7)n+4\ln 2\right]$.

الجواب مجموع $n+1$ حداً لمتتالية حسابية: $\frac{n+1}{2}(w_0+w_n)$ مع $w_0+w_n=4\ln 2+n(\ln 2-\ln 7)$.

المتتاليات الحسابيةمجموع حدود متتابعة لمتتالية

1. $\frac{5-4e^x}{e^{2x}-1}=\frac{5e^{-2x}-4e^{-x}}{1-e^{-2x}}\to \frac{0-0}{1-0}=0$.
2. ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1+0=1$.

الجواب ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1$

الدالة الأسية

1. ${\lim }_{x\to -\infty }{e}^x=0$ و $\lim e^{2x}=0$.
2. ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=1+\frac{5-0}{0-1}=1-5=-4$.

الجواب ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-4$

الدالة الأسية

1. ${\lim }_{x\to 0}(5-4e^x)=1$ و ${\lim }_{x\to 0}(e^{2x}-1)=0$.
2. إذا $x>0$: $e^{2x}-1>0$، إذن ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty$؛ وإذا $x<0$: $e^{2x}-1<0$، إذن ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty$.

الجواب ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty$ و ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty$

الدالة الأسية

1. ${\lim }_{x\to 0}f(x)=\pm \infty$: المستقيم $x=0$ مقارب عمودي.
2. ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1$: المستقيم $y=1$ مقارب أفقي بجوار $+\infty$.
3. ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-4$: المستقيم $y=-4$ مقارب أفقي بجوار $-\infty$.

الجواب $(C_f)$ يقبل ثلاثة مستقيمات مقاربة: $x=0$ (عمودي)، $y=1$ بجوار $+\infty$ و $y=-4$ بجوار $-\infty$.

المستقيم المقارب المائل والوضع النسبي

1. $f^{\prime }(x)=\frac{-4e^x(e^{2x}-1)-(5-4e^x)\times 2e^{2x}}{(e^{2x}-1{)}^2}$.
2. البسط: $-4e^{3x}+4e^x-10e^{2x}+8e^{3x}=e^x(4e^{2x}-10e^x+4)$.
3. $4X^2-10X+4=2(2X^2-5X+2)=2(X-2)(2X-1)$ مع $X=e^x$.
4. إذن $f^{\prime }(x)=\frac{2e^x(e^x-2)(2e^x-1)}{(e^{2x}-1{)}^2}$.

الجواب $f^{\prime }(x)=\frac{e^x(4e^{2x}-10e^x+4)}{(e^{2x}-1{)}^2}=\frac{2e^x(e^x-2)(2e^x-1)}{(e^{2x}-1{)}^2}$.

الدالة الأسيةالمشتقة واتجاه التغير

1. $2e^x>0$ و $(e^{2x}-1{)}^2>0$: إشارة $f^{\prime }(x)$ هي إشارة $(e^x-2)(2e^x-1)$.
2. $e^x-2=0⟺x=\ln 2$ و $2e^x-1=0⟺x=-\ln 2$. الجداء موجب على $]-\infty ;-\ln 2[$ و $]\ln 2;+\infty [$، سالب على $]-\ln 2;0[$ و $]0;\ln 2[$.
3. $f$ متزايدة تماماً على $]-\infty ;-\ln 2]$ و $[\ln 2;+\infty [$، ومتناقصة تماماً على $[-\ln 2;0[$ و $]0;\ln 2]$.

الجواب $f$ متزايدة تماماً على $]-\infty ;-\ln 2]$ و $[\ln 2;+\infty [$، ومتناقصة تماماً على $[-\ln 2;0[$ و $]0;\ln 2]$.

المشتقة واتجاه التغيرالدالة الأسية

1. $f(\ln 2)=1+\frac{5-8}{4-1}=1-1=0$.
2. $f(-\ln 2)=1+\frac{5-2}{\frac{1}{4}-1}=1+\frac{3}{-\frac{3}{4}}=1-4=-3$.
3. جدول التغيّرات: من $-4$ صعوداً إلى $-3$ ثم نزولاً إلى $-\infty$؛ من $+\infty$ نزولاً إلى $0$ ثم صعوداً إلى $1$.

الجواب $f(\ln 2)=0$ و $f(-\ln 2)=-3$

الدالة الأسية

1. $f(-x)=1+\frac{5-4e^{-x}}{e^{-2x}-1}=1+\frac{5e^{2x}-4e^x}{1-e^{2x}}=1-\frac{5e^{2x}-4e^x}{e^{2x}-1}$.
2. $f(-x)+f(x)=2+\frac{5-4e^x-5e^{2x}+4e^x}{e^{2x}-1}=2+\frac{-5(e^{2x}-1)}{e^{2x}-1}$.
3. $f(-x)+f(x)=2-5=-3$.

الجواب $f(-x)=1+\frac{5e^{2x}-4e^x}{1-e^{2x}}$، فمجموعهما $2+\frac{-5e^{2x}+4e^x+5-4e^x}{e^{2x}-1}=2-5=-3$.

الدالة الأسية

1. $f(2\times 0-x)+f(x)=2\times \left(-\frac{3}{2}\right)$.
2. إذن $\Omega \left(0;-\frac{3}{2}\right)$ مركز تناظر لـ $(C_f)$ (نلاحظ: $f(\ln 2)=0$ و $f(-\ln 2)=-3$ متناظرتان حوله).

الجواب $(C_f)$ يقبل النقطة $\Omega \left(0;-\frac{3}{2}\right)$ مركز تناظر.

استنتاج منحنى من آخر والمناقشة البيانية

1. نرسم المستقيمات المقاربة: $x=0$ ، $y=1$ (بجوار $+\infty$)، $y=-4$ (بجوار $-\infty$).
2. على $]-\infty ;0[$: يصعد المنحنى من $-4$ إلى القمة $(-\ln 2;-3)\approx (-0,69;-3)$ ثم ينزل نحو $-\infty$.
3. على $]0;+\infty [$: ينزل من $+\infty$ إلى $(\ln 2;0)\approx (0,69;0)$ (مماس لمحور الفواصل) ثم يصعد نحو $1$.
4. نتأكد أن الفرعين متناظران بالنسبة إلى $\left(0;-\frac{3}{2}\right)$.

الجواب نرسم المقاربات $x=0$ ، $y=1$ ، $y=-4$، والنقطتين $(-\ln 2;-3)$ و $(\ln 2;0)$، ثم فرعي المنحنى متناظرين بالنسبة إلى $\left(0;-\frac{3}{2}\right)$.

الدالة الأسيةالمستقيم المقارب المائل والوضع النسبي

1. $\frac{9e^x}{1+e^x}-\frac{e^x}{1-e^x}=\frac{9e^x(1-e^x)-e^x(1+e^x)}{1-e^{2x}}=\frac{8e^x-10e^{2x}}{1-e^{2x}}$.
2. $-4+\frac{4e^x-5e^{2x}}{1-e^{2x}}=\frac{-4+4e^{2x}+4e^x-5e^{2x}}{1-e^{2x}}=\frac{-4+4e^x-e^{2x}}{1-e^{2x}}$.
3. ومن جهة أخرى $f(x)=\frac{e^{2x}-1+5-4e^x}{e^{2x}-1}=\frac{e^{2x}-4e^x+4}{e^{2x}-1}=\frac{-4+4e^x-e^{2x}}{1-e^{2x}}$: العبارتان متساويتان.

الجواب بتوحيد المقامات: $\frac{1}{2}\times \frac{10e^x-8e^{2x}}{1-e^{2x}}-4=f(x)$.

الدالة الأسية

1. على $]-\infty ;-\ln 2]$: $f$ متزايدة من $-4$، إذن $f(x)+4>0$ والمساحة $\mathcal{A}(\lambda )={\int }_{\lambda }^{-\ln 2}(f(x)+4)dx$.
2. $\mathcal{A}(\lambda )=\frac{1}{2}{\int }_{\lambda }^{-\ln 2}\left(\frac{9e^x}{1+e^x}-\frac{e^x}{1-e^x}\right)dx=\frac{1}{2}{\left[9\ln (1+e^x)+\ln (1-e^x)\right]}_{\lambda }^{-\ln 2}$.
3. عند $-\ln 2$: $9\ln \frac{3}{2}+\ln \frac{1}{2}=9\ln 3-10\ln 2$.
4. $\mathcal{A}(\lambda )=\frac{1}{2}\left(9\ln 3-10\ln 2-9\ln (1+e^{\lambda })-\ln (1-e^{\lambda })\right)$ ua.