قابلية الاشتقاق عند عدد والنقطة الزاوية

$f$ قابلة للاشتقاق عند $a$ إذا كانت $lim_{x \to a} \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ منتهية؛ إذا اختلفت النهايتان من اليمين ومن اليسار فالمنحنى يقبل نصفي مماسين ونقطة زاوية.

رياضيات، علوم تجريبية، تقني رياضي · 25 دقيقة · قبله: المشتقة واتجاه التغير، معادلة المماس

مرّر المؤشر حول x = 2: ميل المماس يقفز من −ln2 إلى ln2، فهي نقطة زاوية.

الفكرة

1
العدد المشتق من اليمين: $lim_{x \to a^{+}} \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ ، ومن اليسار: $lim_{x \to a^{-}} \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ .
2
إذا كانتا متساويتين ومنتهيتين: f قابلة للاشتقاق عند a والمنحنى يقبل مماساً.
3
إذا كانتا منتهيتين ومختلفتين: f غير قابلة للاشتقاق عند a، والمنحنى يقبل نصفي مماسين والنقطة زاوية.
4
مع $∣ x - a ∣$ : نكتب $∣ x - a ∣ = x - a$ لما $x \geq a$ و $∣ x - a ∣ = - (x - a)$ لما $x \leq a$ .

مثال محلول

$f (x) = ∣ x - 2∣ ln x$ . ادرس قابلية اشتقاق $f$ عند $2$ .

$f (2) = 0$ .
لما $x > 2$ : $\frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2} = \frac{( x - 2 ) ln x}{x - 2} = ln x \to ln 2$ .
لما $x < 2$ : $\frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2} = \frac{- ( x - 2 ) ln x}{x - 2} = - ln x \to - ln 2$ .
$ln 2 \neq = - ln 2$ .

انتبه

الاكتفاء بالرسم: التخمين البياني يحتاج إلى إثبات بحساب النهايتين.
نسيان تغيير إشارة القيمة المطلقة على يسار العدد.

اختبر نفسك

3 تمارين من الدرس و3 سؤالاً من امتحانات رسمية، مع تصحيح وعلامة.

ابدأ التمارين

شاهد

الاشتقاقية 01 قابلية الاشتقاق من اليمين ومن اليسار وقبول نصفي مماسين بكالوريا 2023 BAC الاستاذ بوسيف

الأستاذ بوسيف - ProfBoucif

دراسة قابلية الاشتقاق لدالة عند عدد و تفسيرها الهندسي

الاستاذ نورالدين

في الامتحانات

الرياضيات — بكالوريا 2014 الرياضيات — بكالوريا 2026