البرهان بالتراجع

لإثبات خاصية $P (n)$ لكل $n \geq n_{0}$ : نتحقق من $P (n_{0})$ ، ثم نفرض $P (n)$ صحيحة ونبرهن $P (n + 1)$ .

تسيير واقتصاد، رياضيات، علوم تجريبية، تقني رياضي · 25 دقيقة

كل حد يُبنى من سابقه: إذا صحت الخاصية لحد صحت للذي يليه.

الفكرة

1
التحقق: $P (n_{0})$ صحيحة.
2
الوراثة: نفرض $P (n)$ صحيحة لعدد $n$ ونبرهن أن $P (n + 1)$ صحيحة.
3
لإطار $u_{n} \in [a; b]$ مع $u_{n + 1} = f (u_{n})$ : نستعمل رتابة $f$ على $[a; b]$ وأن $f ([a; b]) \subset [a; b]$ .
4
الخلاصة: الخاصية صحيحة لكل n.

$u_{0} = 1$ و $u_{n + 1} = 5^{4} (u_{n} + \frac{9}{16}) - \frac{9}{16}$ . برهن أن $u_{n} = \frac{5 ^{4 n + 2} - 9}{16}$ .

$n = 0$ : $\frac{5 ^{2} - 9}{16} = \frac{16}{16} = 1 = u_{0}$ .
نفرض $u_{n} = \frac{5 ^{4 n + 2} - 9}{16}$ ، إذن $u_{n} + \frac{9}{16} = \frac{5 ^{4 n + 2}}{16}$ .
$u_{n + 1} = \frac{5 ^{4} \cdot 5 ^{4 n + 2}}{16} - \frac{9}{16} = \frac{5 ^{4 (n + 1) + 2} - 9}{16}$ .

انتبه

نسيان خطوة التحقق من الحد الأول.
استعمال ما نريد إثباته في مرحلة الوراثة (نثبت $P (n + 1)$ انطلاقاً من $P (n)$ فقط).

2 تمارين من الدرس و8 سؤالاً من امتحانات رسمية، مع تصحيح وعلامة.

البرهان بالتراجع للسنة الثالثة ثانوي لجميع الشعب رقم 1

الاستاذ نورالدين

البرهان بالتراجع و المتتاليات العددية للثالثة ثانوي

الاستاذ نورالدين