حل بكالوريا 2014 رياضيات شعبة رياضيات — الموضوع الأول مفصّل خطوة بخطوة

شعبة رياضيات · الموضوع الأول · على 20 · 28 سؤالاً

التمرين الأول 5 ن

في الفضاء المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس

(O; i, j, k)

نعتبر النقط:

A (2; 1; - 1)

B (- 1; 2; 4)

C (0; - 2; 3)

D (1; 1; - 2)

والمستوي

(P)

المعرف بالمعادلة الديكارتية:

2 x - y + 2 z + 1 = 0

. المطلوب: أجب بصحيح أو خطأ مع تبرير الإجابة في كل حالة من الحالات التالية.

10,75 ن

النقط $A$ ، $B$ و $C$ تعيّن مستوياً.
- ص صحيح
- خ خطأ
الحل
1. $A B (- 3; 1; 5)$ و $A C (- 2; - 3; 4)$ .
2. $\frac{- 3}{- 2} = \frac{3}{2}$ بينما $\frac{1}{- 3} = - \frac{1}{3}$ : المركبات غير متناسبة.
3. الشعاعان غير مرتبطين خطياً، فالنقط ليست في استقامية وتعيّن مستوياً.
الجواب صحيح: $A B (- 3; 1; 5)$ و $A C (- 2; - 3; 4)$ غير مرتبطين خطياً.

المعادلة الديكارتية لمستو والمسافة
20,5 ن

المستقيم $(A C)$ محتوى في المستوي $(P)$ .
- ص صحيح
- خ خطأ
الحل
1. $2 \times 2 - 1 + 2 \times (- 1) + 1 = 2 \neq = 0$ ، إذن $A \in / (P)$ .
2. نقطة من $(A C)$ خارج $(P)$ ، فـ $(A C)$ غير محتوى في $(P)$ .
الجواب خطأ: $A \in / (P)$ .

المعادلة الديكارتية لمستو والمسافة
30,75 ن

$x - 2 y - z - 1 = 0$ هي معادلة للمستوي $(A C D)$ .
- ص صحيح
- خ خطأ
الحل
1. $A$ : $2 - 2 + 1 - 1 = 0$ . $C$ : $0 + 4 - 3 - 1 = 0$ . $D$ : $1 - 2 + 2 - 1 = 0$ .
2. $A C (- 2; - 3; 4)$ و $A D (- 1; 0; - 1)$ غير مرتبطين خطياً، فـ $A$ ، $C$ ، $D$ تعيّن مستوياً وحيداً هو المستوي ذو هذه المعادلة.
الجواب صحيح: إحداثيات $A$ ، $C$ و $D$ تحقق المعادلة.

المعادلة الديكارتية لمستو والمسافة
41 ن

$⎩ ⎨ ⎧ x = 2 t y = - 2 + 3 t z = 3 - 4 t$ ؛ $t \in R$ هو تمثيل وسيطي للمستقيم $(A C)$ .
- ص صحيح
- خ خطأ
الحل
1. من أجل $t = 0$ : $(0; - 2; 3) = C$ .
2. من أجل $t = 1$ : $(2; 1; - 1) = A$ .
3. المستقيم الممثل يشمل $A$ و $C$ ، فهو $(A C)$ (شعاع توجيهه $U (2; 3; - 4) = - A C$ ).
الجواب صحيح: $C$ توافق $t = 0$ و $A$ توافق $t = 1$ .

التمثيل الوسيطي وتقاطع المستويات
50,75 ن

المسافة بين النقطة $D$ والمستوي $(P)$ تساوي $\frac{3}{2}$ .
- ص صحيح
- خ خطأ
الحل
1. $d (D, (P)) = \frac{∣2 \times 1 - 1 + 2 \times ( - 2 ) + 1∣}{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{∣ - 2∣}{3} = \frac{2}{3}$ .
الجواب خطأ: المسافة تساوي $\frac{2}{3}$ .

المعادلة الديكارتية لمستو والمسافة
60,75 ن

النقطة $E (- 2; - 1; 1)$ هي المسقط العمودي للنقطة $C$ على $(P)$ .
- ص صحيح
- خ خطأ
الحل
1. $2 (- 2) - (- 1) + 2 (1) + 1 = 0$ ، إذن $E \in (P)$ .
2. $E C (2; - 1; 2)$ يساوي الشعاع الناظمي $n (2; - 1; 2)$ للمستوي.
3. إذن $(E C) ⊥ (P)$ و $E$ هي المسقط العمودي لـ $C$ .
الجواب صحيح: $E \in (P)$ و $E C (2; - 1; 2)$ ناظمي لـ $(P)$ .

المعادلة الديكارتية لمستو والمسافة
70,5 ن

سطح الكرة ذات المركز $D$ ونصف القطر $\frac{6}{2}$ هو مجموعة النقط $M$ من الفضاء التي تحقق: $A M \cdot C M = 0$ .
- ص صحيح
- خ خطأ
الحل
1. $A M \cdot C M = 0$ تعرّف سطح الكرة التي قطرها $[A C]$ .
2. مركزها منتصف $[A C]$ : $(1; - \frac{1}{2}; 1) \neq = D (1; 1; - 2)$ .
3. (ونصف قطرها $\frac{A C}{2} = \frac{29}{2}$ .) إذن العبارة خاطئة.
الجواب خطأ: المجموعة هي سطح الكرة التي قطرها $[A C]$ ، و $D$ ليست منتصف $[A C]$ .

المرجح ومجموعات النقط في الفضاء

التمرين الثاني 5 ن

A

B

C

D

نقط من المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس

(O; u, v)

لاحقاتها على الترتيب:

z_{A} = 1 + 2 i

z_{B} = 1 + 3 + i

z_{C} = 1 + 3 - i

z_{D} = 1 - 2 i

11 ن

حل في مجموعة الأعداد المركبة $C$ المعادلة التالية: $(z - 1 - 2 i) (z^{2} - 2 (1 + 3) z + 5 + 23) = 0$ .
الحل
1. جداء معدوم: $z = 1 + 2 i$ أو $z^{2} - 2 (1 + 3) z + 5 + 23 = 0$ .
2. $Δ = 4 (1 + 3)^{2} - 4 (5 + 23) = 4 (4 + 23) - 20 - 83 = - 4 = (2 i)^{2}$ .
3. $z = \frac{2 ( 1 + 3 ) \pm 2 i}{2} = 1 + 3 \pm i$ .
الجواب $z_{1} = 1 + 2 i$ ، $z_{2} = 1 + 3 + i$ ، $z_{3} = 1 + 3 - i$ .

المعادلات من الدرجة الثانية في المجموعة C
2 أ1 ن

بيّن أنّ: $A B = C D$ و $(A D)$ يوازي $(B C)$ .
الحل
1. $z_{B} - z_{A} = 3 - i$ و $∣ 3 - i ∣ = 2$ ، و $z_{D} - z_{C} = - 3 - i$ و $∣ - 3 - i ∣ = 2$ : $A B = C D = 2$ .
2. $\frac{z _{D} - z _{A}}{z _{C} - z _{B}} = \frac{- 4 i}{- 2 i} = 2 \in R$ .
3. إذن $A D = 2 B C$ و $(A D) ∥ (B C)$ .
الجواب $∣ z_{B} - z_{A} ∣ = ∣ z_{D} - z_{C} ∣ = 2$ و $\frac{z _{D} - z _{A}}{z _{C} - z _{B}} = 2$ .

الأعداد المركبة والهندسة
2 ب0,75 ن

تحقق أنّ: $\frac{z _{A} + z _{C}}{2} \neq = \frac{z _{B} + z _{D}}{2}$ ثم استنتج طبيعة الرباعي $A B C D$ .
الحل
1. $\frac{z _{A} + z _{C}}{2} = \frac{2 + 3 + i}{2}$ و $\frac{z _{B} + z _{D}}{2} = \frac{2 + 3 - i}{2}$ : مختلفان.
2. $(A D) ∥ (B C)$ مع $A D = 4 \neq = B C = 2$ : رباعي له ضلعان متوازيان فقط، أي شبه منحرف.
3. الساقان $A B = C D$ ، إذن $A B C D$ شبه منحرف متساوي الساقين.
الجواب القطران ليس لهما نفس المنتصف: $A B C D$ ليس متوازي أضلاع، فهو شبه منحرف متساوي الساقين.

الأعداد المركبة والهندسة
3 أ1,25 ن

بيّن أنّ: $\frac{z _{D} - z _{B}}{z _{A} - z _{B}} = 3 e^{i \frac{π}{2}}$ . استنتج أنّ $D$ هي صورة $A$ بتشابه مباشر مركزه $B$ يطلب تعيين نسبته وزاويته.
الحل
1. $z_{D} - z_{B} = - 3 - 3 i$ و $z_{A} - z_{B} = - 3 + i$ .
2. $\frac{- 3 - 3 i}{- 3 + i} = \frac{( - 3 - 3 i ) ( - 3 - i )}{3 + 1} = \frac{3 + 3 i + 3 3 i - 3}{4} = 3 i = 3 e^{i \frac{π}{2}}$ .
3. إذن $z_{D} - z_{B} = 3 e^{i \frac{π}{2}} (z_{A} - z_{B})$ .
4. $D$ صورة $A$ بالتشابه المباشر الذي مركزه $B$ ونسبته $3$ وزاويته $\frac{π}{2}$ .
الجواب النسبة $3$ والزاوية $\frac{π}{2}$ .

التحويلات النقطية والأعداد المركبة الشكل الأسي لعدد مركب
3 ب0,75 ن

بيّن أنّ المثلث $A D B$ قائم وأنّ النقط $A$ ، $B$ ، $C$ و $D$ تنتمي إلى دائرة يطلب تحديد مركزها ونصف قطرها.
الحل
1. $ar g \frac{z _{D} - z _{B}}{z _{A} - z _{B}} = \frac{π}{2}$ ، أي $(B A; B D) = \frac{π}{2}$ : المثلث $A D B$ قائم في $B$ .
2. $B$ تنتمي إلى الدائرة $(γ)$ التي قطرها $[A D]$ . مركزها $Ω$ منتصف $[A D]$ : $z_{Ω} = \frac{( 1 + 2 i ) + ( 1 - 2 i )}{2} = 1$ ، ونصف قطرها $\frac{A D}{2} = 2$ .
3. $∣ z_{C} - 1∣ = ∣ 3 - i ∣ = 2$ ، إذن $C \in (γ)$ أيضاً (والزاوية $A C D$ قائمة).
الجواب $A D B$ قائم في $B$ ؛ النقط على الدائرة التي قطرها $[A D]$ ، مركزها $Ω (1; 0)$ ونصف قطرها $2$ .

الأعداد المركبة والهندسة
3 ج0,25 ن

استنتج إنشاء للرباعي $A B C D$ .
الحل
1. نعلّم $A (1; 2)$ و $D (1; - 2)$ ونرسم الدائرة $(γ)$ التي قطرها $[A D]$ (مركزها $Ω (1; 0)$ ونصف قطرها $2$ ).
2. $B$ هي نقطة تقاطع $(γ)$ والمستقيم $y = 1$ ذات الفاصلة الموجبة $1 + 3$ .
3. $C$ هي نقطة تقاطع $(γ)$ والمستقيم $y = - 1$ ذات الفاصلة الموجبة.
الجواب نعلّم $A$ و $D$ ونرسم $(γ)$ ؛ $B$ تقاطع $(γ)$ مع $y = 1$ و $C$ تقاطعها مع $y = - 1$ (بفاصلة موجبة).

الأعداد المركبة والهندسة

التمرين الثالث 4 ن

نعتبر المعادلة

(E)

2013 x - 1962 y = 54

حيث

x

y

عددان صحيحان.

1 أ0,5 ن

احسب $P GC D (2013, 1962)$ .
الحل
1. خوارزمية إقليدس: $2013 = 1962 \times 1 + 51$ .
2. $1962 = 51 \times 38 + 24$ ، $51 = 24 \times 2 + 3$ ، $24 = 3 \times 8 + 0$ .
3. آخر باق غير معدوم هو $3$ .
الجواب $P GC D (2013, 1962) = 3$

المعادلات ax + by = c في Z: بيزو وغوص
1 ب0,25 ن

استنتج أنّ المعادلة $(E)$ تقبل حلولاً.
الحل
1. المعادلة $a x + b y = c$ تقبل حلولاً في $Z^{2}$ إذا وفقط إذا كان $P GC D (a, b)$ يقسم $c$ .
2. $54 = 3 \times 18$ ، إذن $(E)$ تقبل حلولاً.
الجواب $P GC D (2013, 1962) = 3$ يقسم $54$ ، إذن $(E)$ تقبل حلولاً.

المعادلات ax + by = c في Z: بيزو وغوص
1 ج0,5 ن

بيّن أنّه إذا كانت الثنائية $(x, y)$ حلاً للمعادلة $(E)$ فإنّ: $x \equiv 0 [6]$ .
الحل
1. بالقسمة على $3$ : $(E) \Leftrightarrow 671 x - 654 y = 18 \Leftrightarrow 671 x = 654 y + 18 = 6 (109 y + 3)$ .
2. إذن $6$ يقسم $671 x$ .
3. $671 = 6 \times 111 + 5$ فـ $P GC D (671, 6) = P GC D (6, 5) = 1$ .
4. حسب مبرهنة غوص: $6$ يقسم $x$ ، أي $x \equiv 0 [6]$ .
الجواب $(E) \Leftrightarrow 671 x = 6 (109 y + 3)$ ، و $6$ أولي مع $671$ ، إذن $6$ يقسم $x$ (مبرهنة غوص).

المعادلات ax + by = c في Z: بيزو وغوص
1 د1,5 ن

استنتج حلاً خاصاً $(x_{0}, y_{0})$ حيث $74 < x_{0} < 80$ ثم حل المعادلة $(E)$ .
الحل
1. المضاعف الوحيد لـ $6$ بين $74$ و $80$ هو $78$ .
2. $671 \times 78 - 18 = 52320 = 654 \times 80$ ، إذن $y_{0} = 80$ و $(78, 80)$ حل خاص.
3. بالطرح: $671 (x - 78) = 654 (y - 80)$ .
4. $P GC D (671, 654) = 1$ ، فحسب غوص $654$ يقسم $x - 78$ : $x = 78 + 654 k$ ، ثم $y = 80 + 671 k$ .
5. تحقق: كل ثنائية من هذا الشكل حل. إذن الحلول $(78 + 654 k; 80 + 671 k)$ ، $k \in Z$ .
الجواب $(x_{0}, y_{0}) = (78, 80)$ ؛ الحلول: $x = 78 + 654 k$ و $y = 80 + 671 k$ مع $k \in Z$ .

انتبه كتابة الحل العام بـ $2013$ و $1962$ دون القسمة على $P GC D = 3$ : نفقد حلولاً.

المعادلات ax + by = c في Z: بيزو وغوص
2 أ0,5 ن

نرمز بالرمز $d$ إلى القاسم المشترك الأكبر للعددين $x$ و $y$ حيث $(x, y)$ حل للمعادلة $(E)$ . ما هي القيم الممكنة للعدد $d$ ؟ (اكتب القيم مفصولة بفواصل تصاعدياً)
الحل
1. $d$ يقسم $x$ و $y$ فهو يقسم $671 x - 654 y = 18$ .
2. إذن $d$ من قواسم $18$ : $d \in {1, 2, 3, 6, 9, 18}$ .
الجواب $d \in {1, 2, 3, 6, 9, 18}$

المعادلات ax + by = c في Z: بيزو وغوص
2 ب0,75 ن

عيّن قيم العددين الطبيعيين $a$ و $b$ حيث: $671 a - 654 b = 18$ و $P GC D (a, b) = 18$ .
الحل
1. $(a, b)$ حل لـ $(E)$ إذن $a = 78 + 654 k$ و $b = 80 + 671 k$ .
2. $18$ يقسم $b$ : $80 + 671 k \equiv 8 + 5 k \equiv 0 [18]$ أي $5 k \equiv 10 [18]$ ، وبما أن $P GC D (5, 18) = 1$ : $k \equiv 2 [18]$ .
3. نضع $k = 2 + 18 p$ : $a = 1386 + 11772 p$ و $b = 1422 + 12078 p$ ، وكلاهما مضاعف لـ $18$ .
4. $a = 18 a^{'}$ ، $b = 18 b^{'}$ مع $671 a^{'} - 654 b^{'} = 1$ ، إذن $P GC D (a^{'}, b^{'}) = 1$ و $P GC D (a, b) = 18$ .
5. $a$ و $b$ طبيعيان يعطي $p \geq 0$ : $a = 1386 + 11772 p$ ، $b = 1422 + 12078 p$ ، $p \in N$ .
الجواب $a = 1386 + 11772 p$ و $b = 1422 + 12078 p$ مع $p \in N$ .

المعادلات ax + by = c في Z: بيزو وغوص

التمرين الرابع 6 ن

g

الدالة العددية المعرفة على

R

كما يلي:

g (x) = (2 - x) e^{x} - 1

. II)

f

الدالة العددية المعرفة على

R

كما يلي:

f (x) = \frac{e ^{x} - 1}{e ^{x} - x}

، و

(C_{f})

المنحنى الممثل للدالة

f

في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس

(O; i, j)

I-11,25 ن

ادرس تغيرات الدالة $g$ .
الحل
1. $lim_{x \to - \infty} g (x) = - 1$ لأن $lim x e^{x} = 0$ و $lim e^{x} = 0$ .
2. $lim_{x \to + \infty} g (x) = - \infty$ لأن $2 - x \to - \infty$ و $e^{x} \to + \infty$ .
3. $g^{'} (x) = - e^{x} + (2 - x) e^{x} = (1 - x) e^{x}$ ، إشارتها إشارة $1 - x$ .
4. $g$ متزايدة تماماً على $] - \infty; 1]$ ومتناقصة تماماً على $[1; + \infty [$ ، وقيمتها العظمى $g (1) = e - 1$ .
الجواب $lim_{- \infty} g = - 1$ ، $lim_{+ \infty} g = - \infty$ ، $g^{'} (x) = (1 - x) e^{x}$ : $g$ متزايدة تماماً على $] - \infty; 1]$ ومتناقصة تماماً على $[1; + \infty [$ ، و $g (1) = e - 1$ .

الدالة الأسية المشتقة واتجاه التغير
I-21 ن

بيّن أنّ للمعادلة $g (x) = 0$ في $R$ حلين $α$ و $β$ حيث $- 1, 2 < α < - 1, 1$ و $1, 8 < β < 1, 9$ .
الحل
1. على $] - \infty; 1]$ : $g$ مستمرة ومتزايدة تماماً وتأخذ قيمها في $] - 1; e - 1]$ الذي يحوي $0$ : حل وحيد $α$ .
2. على $[1; + \infty [$ : $g$ مستمرة ومتناقصة تماماً وتأخذ قيمها في $] - \infty; e - 1]$ : حل وحيد $β$ .
3. $g (- 1, 2) \approx - 0, 036$ و $g (- 1, 1) \approx 0, 032$ ، إذن $- 1, 2 < α < - 1, 1$ .
4. $g (1, 8) \approx 0, 21$ و $g (1, 9) \approx - 0, 33$ ، إذن $1, 8 < β < 1, 9$ .
الجواب على كل من $] - \infty; 1]$ و $[1; + \infty [$ الدالة رتيبة تماماً وتغير إشارتها؛ $g (- 1, 2) \approx - 0, 036$ ، $g (- 1, 1) \approx 0, 032$ ، $g (1, 8) \approx 0, 21$ ، $g (1, 9) \approx - 0, 33$ .

مبرهنة القيم المتوسطة والحل الوحيد
I-30,25 ن

استنتج إشارة $g (x)$ على $R$ .
الحل
1. من جدول تغيرات $g$ والقيمتين $g (α) = g (β) = 0$ .
2. $g (x) \geq 0$ على $[α; β]$ ، و $g (x) < 0$ خارجه.
الجواب $g (x) \geq 0$ لما $x \in [α; β]$ و $g (x) < 0$ لما $x \in] - \infty; α [\cup] β; + \infty [$ .

مبرهنة القيم المتوسطة والحل الوحيد
II-10,75 ن

احسب نهاية الدالة $f$ عند $- \infty$ و عند $+ \infty$ وفسّر النتيجتين هندسياً.
الحل
1. عند $- \infty$ : $e^{x} - 1 \to - 1$ و $e^{x} - x \to + \infty$ ، إذن $lim_{x \to - \infty} f (x) = 0$ .
2. عند $+ \infty$ : $f (x) = \frac{1 - e ^{- x}}{1 - x e ^{- x}} \to \frac{1}{1} = 1$ .
3. التفسير: $y = 0$ مقارب بجوار $- \infty$ و $y = 1$ مقارب بجوار $+ \infty$ .
الجواب $lim_{- \infty} f = 0$ و $lim_{+ \infty} f = 1$ : المستقيمان $y = 0$ و $y = 1$ مقاربان لـ $(C_{f})$ .

الدالة الأسية المستقيم المقارب المائل والوضع النسبي
II-20,75 ن

بيّن أنّه من أجل كل عدد حقيقي $x$ : $f^{'} (x) = \frac{g ( x )}{( e ^{x} - x ) ^{2}}$ واستنتج اتجاه تغير الدالة $f$ ثم شكّل جدول تغيراتها.
الحل
1. $f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( e ^{x} - x ) - ( e ^{x} - 1 ) ( e ^{x} - 1 )}{( e ^{x} - x ) ^{2}}$ .
2. البسط: $e^{2 x} - x e^{x} - e^{2 x} + 2 e^{x} - 1 = (2 - x) e^{x} - 1 = g (x)$ .
3. إشارة $f^{'} (x)$ هي إشارة $g (x)$ .
4. $f$ متناقصة تماماً على $] - \infty; α]$ وعلى $[β; + \infty [$ ، ومتزايدة تماماً على $[α; β]$ .
5. الجدول: $0 ↘ f (α) ↗ f (β) ↘ 1$ .
الجواب $f$ متناقصة تماماً على كل من $] - \infty; α]$ و $[β; + \infty [$ ومتزايدة تماماً على $[α; β]$ .

المشتقة واتجاه التغير
II-30,75 ن

بيّن أنّ: $f (α) = \frac{1}{α - 1}$ واستنتج حصراً للعددين $f (α)$ و $f (β)$ .
الحل
1. $g (α) = 0$ يعطي $e^{α} = \frac{1}{2 - α}$ .
2. $f (α) = \frac{\frac{1}{2 - α} - 1}{\frac{1}{2 - α} - α} = \frac{α - 1}{1 - 2 α + α ^{2}} = \frac{α - 1}{( α - 1 ) ^{2}} = \frac{1}{α - 1}$ (وبالمثل $f (β) = \frac{1}{β - 1}$ ).
3. $- 2, 2 < α - 1 < - 2, 1$ يعطي $- \frac{1}{2 , 1} < f (α) < - \frac{1}{2 , 2}$ أي $- 0, 48 < f (α) < - 0, 45$ .
4. $0, 8 < β - 1 < 0, 9$ يعطي $\frac{1}{0 , 9} < f (β) < \frac{1}{0 , 8}$ أي $1, 11 < f (β) < 1, 25$ .
الجواب $- 0, 48 < f (α) < - 0, 45$ و $1, 11 < f (β) < 1, 25$ .

انتبه نسيان قلب اتجاه المتباينة عند أخذ المقلوب.

الدالة الأسية
II-40,5 ن

احسب $f (1)$ ثم ارسم المنحنى $(C_{f})$ .
الحل
1. $f (1) = \frac{e - 1}{e - 1} = 1$ ، و $f (0) = 0$ .
2. ارسم المقاربين $y = 0$ (عند $- \infty$ ) و $y = 1$ (عند $+ \infty$ ).
3. القيمة الصغرى $f (α) \approx - 0, 47$ والعظمى $f (β) \approx 1, 17$ ؛ المنحنى يقطع $y = 1$ في $(1; 1)$ ثم ينزل نحوه من الأعلى.
الجواب $f (1) = 1$ ؛ انظر الرسم.

الدالة الأسية
II-5 أ0,5 ن

$λ$ عدد حقيقي أكبر أو يساوي $1$ . احسب بدلالة $λ$ العدد $a (λ)$ حيث: $a (λ) = \int_{1}^{λ} [f (x) - 1] d x$ .
الحل
1. $f (x) - 1 = \frac{x - 1}{e ^{x} - x} = \frac{( x - 1 ) e ^{- x}}{1 - x e ^{- x}}$ .
2. $(1 - x e^{- x})^{'} = - e^{- x} + x e^{- x} = (x - 1) e^{- x}$ ، و $1 - x e^{- x} > 0$ ، فدالة أصلية هي $ln (1 - x e^{- x})$ .
3. $a (λ) = ln (1 - λ e^{- λ}) - ln (1 - e^{- 1})$ .
4. $ln (1 - e^{- 1}) = ln \frac{e - 1}{e} = ln (e - 1) - 1$ ، إذن $a (λ) = ln (1 - λ e^{- λ}) - ln (e - 1) + 1$ .
الجواب $a (λ) = ln (1 - λ e^{- λ}) - ln (e - 1) + 1$

الدوال الأصلية والحساب التكاملي
II-5 ب0,25 ن

احسب نهاية $a (λ)$ عندما يؤول $λ$ إلى $+ \infty$ (اكتب العبارة بدلالة e، مثل 1-ln(e-1)).
الحل
1. $lim_{λ \to + \infty} λ e^{- λ} = 0$ ، إذن $ln (1 - λ e^{- λ}) \to ln 1 = 0$ .
2. $lim a (λ) = 1 - ln (e - 1)$ .
الجواب $lim_{λ \to + \infty} a (λ) = 1 - ln (e - 1)$

الدوال الأصلية والحساب التكاملي