حل بكالوريا 2014 رياضيات شعبة رياضيات — الموضوع الثاني مفصّل خطوة بخطوة

شعبة رياضيات · الموضوع الثاني · على 20 · 31 سؤالاً

التمرين الأول 5 ن

المستوي منسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس

(O; u, v)

A

B

النقطتان اللتان لاحقتاهما على الترتيب:

a = - 2 + 6 i

b = - 1 + 2 i

10,5 ن

اكتب العدد المركب $1 + i$ على شكل أسي (اكتب على الشكل r*e^(i*theta)، مثل 2e^(ipi/3)).
الحل
1. $∣1 + i ∣ = 2$ .
2. $cos θ = sin θ = \frac{1}{2}$ إذن $θ = \frac{π}{4}$ .
الجواب $1 + i = 2 e^{i \frac{π}{4}}$

الشكل الأسي لعدد مركب
2 أ0,5 ن

$S$ التحويل النقطي الذي يرفق بكل نقطة $M$ لاحقتها $z$ النقطة $M^{'}$ لاحقتها $z^{'}$ حيث: $z^{'} = 2 e^{i \frac{π}{4}} z + 2$ . $D$ النقطة ذات اللاحقة $d = 2 i$ . جد لاحقة النقطة $D^{'}$ صورة $D$ بالتحويل $S$ . ماذا تستنتج؟
الحل
1. $2 e^{i \frac{π}{4}} = 1 + i$ ، إذن $z^{'} = (1 + i) z + 2$ .
2. $d^{'} = (1 + i) (2 i) + 2 = 2 i - 2 + 2 = 2 i$ .
3. $D^{'} = D$ : $D$ صامدة بـ $S$ .
الجواب $d^{'} = 2 i = d$ : النقطة $D$ صامدة بالتحويل $S$ (فهي مركزه).

التحويلات النقطية والأعداد المركبة
2 ب1 ن

بيّن أنّ: $z^{'} - d = 2 e^{i \frac{π}{4}} (z - d)$ واستنتج طبيعة وعناصر التحويل $S$ .
الحل
1. $(1 + i) (z - 2 i) = (1 + i) z - 2 i + 2 = z^{'} - 2 i = z^{'} - d$ .
2. الكتابة $z^{'} - d = k e^{i θ} (z - d)$ مع $k = 2 > 0$ و $θ = \frac{π}{4}$ هي كتابة تشابه مباشر.
3. $S$ تشابه مباشر مركزه $D$ ، نسبته $2$ وزاويته $\frac{π}{4}$ .
الجواب $S$ تشابه مباشر مركزه $D$ ونسبته $2$ وزاويته $\frac{π}{4}$ .

التحويلات النقطية والأعداد المركبة
3 أ1 ن

$(Δ)$ المستقيم ذو المعادلة: $3 x + 5 y = 11$ . تحقق أنّ النقطة $M_{0} (- 3; 4)$ تنتمي إلى $(Δ)$ ثم عيّن نقط $(Δ)$ التي إحداثياتها أعداد صحيحة.
الحل
1. $3 (- 3) + 5 (4) = - 9 + 20 = 11$ ، إذن $M_{0} \in (Δ)$ .
2. بالطرح: $3 (x + 3) = - 5 (y - 4)$ .
3. $P GC D (3, 5) = 1$ ، فحسب غوص $5$ يقسم $x + 3$ : $x = 5 k - 3$ ، ثم $y = 4 - 3 k$ .
4. النقط: $M (5 k - 3; - 3 k + 4)$ ، $k \in Z$ .
الجواب $M (5 k - 3; - 3 k + 4)$ مع $k \in Z$ .

المعادلات ax + by = c في Z: بيزو وغوص
3 ب1 ن

$M_{0}^{'}$ صورة $M_{0}$ بالتحويل $S$ . بيّن أنّ المستقيمين $(B M_{0}^{'})$ و $(B A)$ متعامدان.
الحل
1. $z_{M_{0}^{'}} = (1 + i) (- 3 + 4 i) + 2 = - 3 + 4 i - 3 i - 4 + 2 = - 5 + i$ ، أي $M_{0}^{'} (- 5; 1)$ .
2. $B A$ لاحقته $a - b = - 1 + 4 i$ ، و $B M_{0}^{'}$ لاحقته $- 5 + i - (- 1 + 2 i) = - 4 - i$ .
3. $B A \cdot B M_{0}^{'} = (- 1) (- 4) + 4 \times (- 1) = 0$ : المستقيمان متعامدان.
الجواب $M_{0}^{'} (- 5; 1)$ و $B A \cdot B M_{0}^{'} = 0$ .

التحويلات النقطية والأعداد المركبة الأعداد المركبة والهندسة
41 ن

$x$ و $y$ عددان صحيحان من المجال $[- 5; 5]$ . عيّن مجموعة النقط $M (x; y)$ من المستوي بحيث يكون المستقيمان $(B A)$ و $(B M^{'})$ متعامدين، حيث $M^{'}$ هي صورة $M$ بالتحويل $S$ .
الحل
1. $z^{'} - b = (1 + i) (x + i y) + 3 - 2 i = (x - y + 3) + i (x + y - 2)$ .
2. $B A (- 1; 4) \cdot B M^{'} = - (x - y + 3) + 4 (x + y - 2) = 3 x + 5 y - 11$ .
3. التعامد يكافئ $3 x + 5 y = 11$ ، أي $M \in (Δ)$ بإحداثيات صحيحة: $x = 5 k - 3$ ، $y = 4 - 3 k$ .
4. الشرط $- 5 \leq 5 k - 3 \leq 5$ و $- 5 \leq 4 - 3 k \leq 5$ يعطي $k \in {0, 1}$ .
5. النقط المطلوبة: $M_{0} (- 3; 4)$ و $M_{1} (2; 1)$ .
الجواب النقطتان $M_{0} (- 3; 4)$ و $M_{1} (2; 1)$ .

المعادلات ax + by = c في Z: بيزو وغوص التحويلات النقطية والأعداد المركبة

التمرين الثاني 4,5 ن

الدالة العددية

f

معرفة على

[0; + \infty [

كما يلي:

f (x) = \frac{2 x ^{2}}{x + 4}

، و

(C_{f})

المنحنى الممثل للدالة

f

في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس

(O; i, j)

كما هو مبين في الشكل.

(U_{n})

المتتالية العددية المعرفة بـ:

U_{0} = 3

ومن أجل كل عدد طبيعي

n

U_{n + 1} = f (U_{n})

(Δ)

المستقيم الذي معادلته

y = x

10,5 ن

بيّن أنّ الدالة $f$ متزايدة تماماً.
الحل
1. $f^{'} (x) = \frac{4 x ( x + 4 ) - 2 x ^{2}}{( x + 4 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{2} + 16 x}{( x + 4 ) ^{2}} = \frac{2 x ( x + 8 )}{( x + 4 ) ^{2}}$ .
2. على $[0; + \infty [$ : $f^{'} (x) \geq 0$ وتنعدم عند $x = 0$ فقط، إذن $f$ متزايدة تماماً.
الجواب $f^{'} (x) = \frac{2 x ( x + 8 )}{( x + 4 ) ^{2}} \geq 0$ (ولا تنعدم إلا عند $0$ ).

المشتقة واتجاه التغير
2 أ0,5 ن

باستعمال المنحنى $(C_{f})$ والمستقيم $(Δ)$ مثّل على حامل محور الفواصل الحدود $U_{0}$ ، $U_{1}$ ، $U_{2}$ ، $U_{3}$ و $U_{4}$ دون حسابها.
الحل
1. نعلّم $U_{0} = 3$ على محور الفواصل ونصعد عمودياً إلى $(C_{f})$ : الترتيب هو $U_{1}$ .
2. ننتقل أفقياً إلى $(Δ)$ ثم ننزل إلى محور الفواصل: نحصل على $U_{1}$ .
3. نكرر العملية لـ $U_{2}$ ، $U_{3}$ ، $U_{4}$ (القيم التقريبية $2, 57$ ، $2, 01$ ، $1, 35$ ، $0, 68$ ).
الجواب انظر الرسم: الدرج بين $(C_{f})$ و $(Δ)$ ينطلق من $U_{0} = 3$ نحو المبدأ.

اتجاه تغير متتالية ونهايتها
2 ب0,5 ن

ضع تخميناً حول اتجاه تغير المتتالية $(U_{n})$ وتقاربها.
الحل
1. الحدود الممثلة تتناقص: $U_{4} < U_{3} < U_{2} < U_{1} < U_{0}$ .
2. وتقترب من فاصلة نقطة تقاطع $(C_{f})$ و $(Δ)$ في المبدأ: نخمن أن $lim U_{n} = 0$ .
الجواب $(U_{n})$ متناقصة ومتقاربة نحو $0$ .

اتجاه تغير متتالية ونهايتها
3 أ0,5 ن

برهن بالتراجع أنّه من أجل كل عدد طبيعي $n$ : $0 \leq U_{n} \leq 3$ .
الحل
1. التحقق: $0 \leq U_{0} = 3 \leq 3$ .
2. الوراثة: نفرض $0 \leq U_{n} \leq 3$ . $f$ متزايدة تماماً، إذن $f (0) \leq f (U_{n}) \leq f (3)$ .
3. $f (0) = 0$ و $f (3) = \frac{18}{7} < 3$ ، إذن $0 \leq U_{n + 1} \leq 3$ .
4. الخلاصة: من أجل كل $n \in N$ : $0 \leq U_{n} \leq 3$ .
الجواب التحقق $0 \leq U_{0} = 3 \leq 3$ ؛ الوراثة باستعمال تزايد $f$ : $f (0) \leq f (U_{n}) \leq f (3)$ مع $f (0) = 0$ و $f (3) = \frac{18}{7} < 3$ .

البرهان بالتراجع
3 ب0,5 ن

بيّن أنّ المتتالية $(U_{n})$ متناقصة.
الحل
1. $U_{n + 1} - U_{n} = \frac{2 U _{n}^{2}}{U _{n} + 4} - U_{n} = \frac{U _{n}^{2} - 4 U _{n}}{U _{n} + 4} = \frac{U _{n} ( U _{n} - 4 )}{U _{n} + 4}$ .
2. لأن $0 \leq U_{n} \leq 3$ : $U_{n} \geq 0$ ، $U_{n} - 4 < 0$ ، $U_{n} + 4 > 0$ ، إذن $U_{n + 1} - U_{n} \leq 0$ .
3. $(U_{n})$ متناقصة.
الجواب $U_{n + 1} - U_{n} = \frac{U _{n} ( U _{n} - 4 )}{U _{n} + 4} \leq 0$ .

اتجاه تغير متتالية ونهايتها
3 ج0,5 ن

استنتج أنّ المتتالية $(U_{n})$ متقاربة.
الحل
1. كل متتالية متناقصة ومحدودة من الأسفل متقاربة.
2. $(U_{n})$ متناقصة و $U_{n} \geq 0$ ، إذن متقاربة.
الجواب $(U_{n})$ متناقصة ومحدودة من الأسفل بـ $0$ ، فهي متقاربة.

اتجاه تغير متتالية ونهايتها
4 أ0,5 ن

ادرس إشارة العدد $7 U_{n + 1} - 6 U_{n}$ واستنتج أنّه من أجل كل عدد طبيعي $n$ : $0 \leq U_{n + 1} \leq \frac{6}{7} U_{n}$ .
الحل
1. $7 U_{n + 1} - 6 U_{n} = \frac{14 U _{n}^{2} - 6 U _{n}^{2} - 24 U _{n}}{U _{n} + 4} = \frac{8 U _{n} ( U _{n} - 3 )}{U _{n} + 4}$ .
2. لأن $0 \leq U_{n} \leq 3$ : $U_{n} \geq 0$ و $U_{n} - 3 \leq 0$ ، إذن $7 U_{n + 1} - 6 U_{n} \leq 0$ .
3. $U_{n + 1} \leq \frac{6}{7} U_{n}$ ، ومع $U_{n + 1} \geq 0$ : $0 \leq U_{n + 1} \leq \frac{6}{7} U_{n}$ .
الجواب $7 U_{n + 1} - 6 U_{n} = \frac{8 U _{n} ( U _{n} - 3 )}{U _{n} + 4} \leq 0$ .

اتجاه تغير متتالية ونهايتها
4 ب0,75 ن

برهن بالتراجع أنّه من أجل كل عدد طبيعي $n$ : $0 \leq U_{n} \leq 3 (\frac{6}{7})^{n}$ .
الحل
1. التحقق: $0 \leq U_{0} = 3 \leq 3 (\frac{6}{7})^{0} = 3$ .
2. الوراثة: نفرض $0 \leq U_{n} \leq 3 (\frac{6}{7})^{n}$ .
3. $0 \leq U_{n + 1} \leq \frac{6}{7} U_{n} \leq \frac{6}{7} \times 3 (\frac{6}{7})^{n} = 3 (\frac{6}{7})^{n + 1}$ .
4. الخلاصة: الخاصية صحيحة من أجل كل $n \in N$ .
الجواب التحقق عند $n = 0$ : $0 \leq 3 \leq 3$ ؛ الوراثة: $U_{n + 1} \leq \frac{6}{7} U_{n} \leq \frac{6}{7} \times 3 (\frac{6}{7})^{n}$ .

البرهان بالتراجع
4 ج0,25 ن

احسب نهاية المتتالية $(U_{n})$ عندما يؤول $n$ إلى $+ \infty$ (اكتب عدداً).
الحل
1. $0 < \frac{6}{7} < 1$ إذن $lim_{n \to + \infty} 3 (\frac{6}{7})^{n} = 0$ .
2. حسب مبرهنة الحصر: $lim_{n \to + \infty} U_{n} = 0$ .
الجواب $lim_{n \to + \infty} U_{n} = 0$

اتجاه تغير متتالية ونهايتها

التمرين الثالث 5 ن

الفضاء منسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس

(O; i, j, k)

(Δ)

المستقيم الذي يشمل النقطة

A (1; 1; 3)

u (1; 2; - 2)

شعاع توجيه له.

(Δ^{'})

المستقيم المعرف بجملة المعادلتين:

x + z = 0

y = 3

11 ن

جد تمثيلاً وسيطياً لكل من المستقيمين $(Δ)$ و $(Δ^{'})$ .
الحل
1. $(Δ)$ : $M (x; y; z) \in (Δ)$ يكافئ $A M = t u$ : $x = 1 + t$ ، $y = 1 + 2 t$ ، $z = 3 - 2 t$ .
2. $(Δ^{'})$ : نضع $z = t^{'}$ فيكون $x = - t^{'}$ و $y = 3$ .
الجواب $(Δ)$ : $x = 1 + t$ ، $y = 1 + 2 t$ ، $z = 3 - 2 t$ ؛ $(Δ^{'})$ : $x = - t^{'}$ ، $y = 3$ ، $z = t^{'}$ ( $t, t^{'} \in R$ ).

التمثيل الوسيطي وتقاطع المستويات
20,75 ن

بيّن أنّ $(Δ)$ و $(Δ^{'})$ ليسا من نفس المستوي.
الحل
1. شعاع توجيه $(Δ^{'})$ : $v (- 1; 0; 1)$ ، وهو غير مرتبط خطياً مع $u (1; 2; - 2)$ : المستقيمان غير متوازيين.
2. التقاطع: $1 + 2 t = 3$ يعطي $t = 1$ ، ثم $x = 2 = - t^{'}$ أي $t^{'} = - 2$ ، و $z = 3 - 2 = 1 \neq = t^{'} = - 2$ : تناقض.
3. غير متوازيين وغير متقاطعين، إذن ليسا من نفس المستوي.
الجواب غير متوازيين وغير متقاطعين.

التمثيل الوسيطي وتقاطع المستويات
30,75 ن

$(P)$ المستوي الذي يشمل $(Δ^{'})$ ويوازي $(Δ)$ . بيّن أنّ معادلة المستوي $(P)$ هي: $2 x + y + 2 z - 3 = 0$ .
الحل
1. $(P)$ يشمل $M_{0} (0; 3; 0)$ من $(Δ^{'})$ وموجه بالشعاعين $u (1; 2; - 2)$ و $v (- 1; 0; 1)$ .
2. $n (2; 1; 2)$ : $n \cdot u = 2 + 2 - 4 = 0$ و $n \cdot v = - 2 + 0 + 2 = 0$ ، فهو ناظمي لـ $(P)$ .
3. $(P) : 2 x + y + 2 z + d = 0$ و $M_{0} \in (P)$ : $3 + d = 0$ ، إذن $(P) : 2 x + y + 2 z - 3 = 0$ .
الجواب $n (2; 1; 2)$ عمودي على $u$ و $v$ ، و $M_{0} (0; 3; 0) \in (Δ^{'})$ يحقق المعادلة.

المعادلة الديكارتية لمستو والمسافة
40,5 ن

$M (1 + t; 1 + 2 t; 3 - 2 t)$ نقطة كيفية من المستقيم $(Δ)$ ، حيث $t \in R$ . احسب $d$ المسافة بين $M$ والمستوي $(P)$ (اكتب عدداً).
الحل
1. $d = \frac{∣2 ( 1 + t ) + ( 1 + 2 t ) + 2 ( 3 - 2 t ) - 3∣}{4 + 1 + 4} = \frac{∣6∣}{3} = 2$ .
2. المسافة لا تتعلق بـ $t$ ، وهذا متوقع لأن $(Δ) ∥ (P)$ .
الجواب $d = 2$

المعادلة الديكارتية لمستو والمسافة
5 أ0,75 ن

عيّن إحداثيات النقطة $A^{'}$ المسقط العمودي للنقطة $A$ على المستوي $(P)$ ، ثم عيّن تمثيلاً وسيطياً للمستقيم $(Δ^{''})$ الذي يشمل $A^{'}$ ويوازي $(Δ)$ .
الحل
1. المستقيم العمودي على $(P)$ المار بـ $A$ : $x = 1 + 2 s$ ، $y = 1 + s$ ، $z = 3 + 2 s$ .
2. بالتعويض في $(P)$ : $2 + 4 s + 1 + s + 6 + 4 s - 3 = 0$ أي $9 s = - 6$ و $s = - \frac{2}{3}$ .
3. $A^{'} (1 - \frac{4}{3}; 1 - \frac{2}{3}; 3 - \frac{4}{3}) = (- \frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{5}{3})$ .
4. $(Δ^{''})$ يشمل $A^{'}$ وشعاع توجيهه $u (1; 2; - 2)$ .
الجواب $A^{'} (- \frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{5}{3})$ ؛ $(Δ^{''})$ : $x = - \frac{1}{3} + λ$ ، $y = \frac{1}{3} + 2 λ$ ، $z = \frac{5}{3} - 2 λ$ ، $λ \in R$ .

المعادلة الديكارتية لمستو والمسافة التمثيل الوسيطي وتقاطع المستويات
5 ب0,5 ن

بيّن أنّ $(Δ^{'})$ و $(Δ^{''})$ يتقاطعان في النقطة $B (1; 3; - 1)$ .
الحل
1. في $(Δ^{''})$ مع $λ = \frac{4}{3}$ : $x = 1$ ، $y = 3$ ، $z = \frac{5}{3} - \frac{8}{3} = - 1$ .
2. في $(Δ^{'})$ مع $t^{'} = - 1$ : $x = 1$ ، $y = 3$ ، $z = - 1$ .
3. إذن $B (1; 3; - 1)$ نقطة مشتركة، والمستقيمان غير متوازيين، فهي نقطة تقاطعهما.
الجواب $B$ توافق $λ = \frac{4}{3}$ في $(Δ^{''})$ و $t^{'} = - 1$ في $(Δ^{'})$ .

التمثيل الوسيطي وتقاطع المستويات
6 أ0,25 ن

$f$ الدالة العددية المعرفة على $R$ كما يلي: $f (t) = B M^{2}$ . بيّن أنّ: $f (t) = 9 t^{2} - 24 t + 20$ .
الحل
1. $B M (1 + t - 1; 1 + 2 t - 3; 3 - 2 t + 1) = (t; 2 t - 2; 4 - 2 t)$ .
2. $B M^{2} = t^{2} + (4 t^{2} - 8 t + 4) + (16 - 16 t + 4 t^{2}) = 9 t^{2} - 24 t + 20$ .
الجواب $B M (t; 2 t - 2; 4 - 2 t)$ و $B M^{2} = 9 t^{2} - 24 t + 20$ .

التمثيل الوسيطي وتقاطع المستويات
6 ب0,25 ن

بيّن أنّ $f$ تقبل قيمة حدية صغرى $f (t_{0})$ يطلب تعيين $t_{0}$ و $f (t_{0})$ (اكتب t0,f(t0)).
الحل
1. $f^{'} (t) = 18 t - 24$ تنعدم وتغير إشارتها من السالب إلى الموجب عند $t_{0} = \frac{4}{3}$ .
2. $f (\frac{4}{3}) = 9 \times \frac{16}{9} - 32 + 20 = 4$ .
الجواب $t_{0} = \frac{4}{3}$ و $f (t_{0}) = 4$

المشتقة واتجاه التغير
6 ج0,25 ن

تحقّق أنّ $d = f (t_{0})$ .
الحل
1. $f (t_{0}) = 4 = 2$ ، وهي المسافة $d$ المحسوبة في السؤال 4.
2. تفسير: $B M$ أصغر ما يمكن عندما يكون $(B M)$ عمودياً على $(P)$ .
الجواب $f (t_{0}) = 4 = 2 = d$ .

المعادلة الديكارتية لمستو والمسافة

التمرين الرابع 5,5 ن

f

الدالة العددية المعرفة على المجال

] 0; + \infty [

بـ:

f (x) = (1 + 2 ln x) (- 1 + ln x)

، و

(C_{f})

المنحنى الممثل للدالة

f

في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس

(O; i, j)

. 2)

g

الدالة العددية المعرفة على

] 0; + \infty [

بـ:

g (x) = 1 - ln x

، و

(C_{g})

تمثيلها البياني في المعلم السابق. 3) نعتبر الدالة العددية

h

المعرفة على

] 0; + \infty [

بـ:

h (x) = x (ln x)^{2} - 2 x ln x + 2 x

1 أ1,5 ن

ادرس تغيرات الدالة $f$ .
الحل
1. $f (x) = 2 (ln x)^{2} - ln x - 1$ .
2. عند $0^{+}$ : $ln x \to - \infty$ فـ $(1 + 2 ln x) \to - \infty$ و $(- 1 + ln x) \to - \infty$ : $lim f = + \infty$ . عند $+ \infty$ : الجداء $\to + \infty$ .
3. $f^{'} (x) = \frac{4 ln x}{x} - \frac{1}{x} = \frac{- 1 + 4 ln x}{x}$ .
4. $f^{'} (x) = 0$ يكافئ $ln x = \frac{1}{4}$ أي $x = e^{\frac{1}{4}}$ ؛ $f^{'} < 0$ قبلها و $f^{'} > 0$ بعدها.
5. القيمة الصغرى: $f (e^{\frac{1}{4}}) = 2 \times \frac{1}{16} - \frac{1}{4} - 1 = - \frac{9}{8}$ .
الجواب $lim_{0^{+}} f = lim_{+ \infty} f = + \infty$ ، $f^{'} (x) = \frac{- 1 + 4 ln x}{x}$ : $f$ متناقصة تماماً على $] 0; e^{\frac{1}{4}}]$ ومتزايدة تماماً على $[e^{\frac{1}{4}}; + \infty [$ ، و $f (e^{\frac{1}{4}}) = - \frac{9}{8}$ .

الدالة اللوغاريتمية النيبيرية المشتقة واتجاه التغير
1 ب0,5 ن

اكتب معادلة المماس $(Δ)$ للمنحنى $(C_{f})$ في النقطة ذات الفاصلة $e$ (اكتب y=...).
الحل
1. $f (e) = (1 + 2) (- 1 + 1) = 0$ و $f^{'} (e) = \frac{- 1 + 4}{e} = \frac{3}{e}$ .
2. $y = \frac{3}{e} (x - e) + 0 = \frac{3}{e} x - 3$ .
الجواب $(Δ) : y = \frac{3}{e} x - 3$

معادلة المماس
1 ج1 ن

عيّن فواصل نقط تقاطع $(C_{f})$ مع حامل محور الفواصل ثم ارسم $(C_{f})$ على المجال $] 0; e^{2}]$ .
الحل
1. $f (x) = 0$ يكافئ $1 + 2 ln x = 0$ أو $- 1 + ln x = 0$ .
2. $ln x = - \frac{1}{2}$ أي $x = \frac{1}{e} \approx 0, 61$ ، أو $ln x = 1$ أي $x = e$ .
3. ارسم المماس $(Δ)$ والقيمة الصغرى $(e^{\frac{1}{4}}; - \frac{9}{8}) \approx (1, 28; - 1, 13)$ ، و $f (e^{2}) = 5$ .
الجواب $x = \frac{1}{e}$ و $x = e$ ؛ انظر الرسم.

الدالة اللوغاريتمية النيبيرية
2 أ0,75 ن

ادرس تغيرات الدالة $g$ .
الحل
1. $lim_{x \to 0^{+}} g (x) = + \infty$ و $lim_{x \to + \infty} g (x) = - \infty$ .
2. $g^{'} (x) = - \frac{1}{x} < 0$ على $] 0; + \infty [$ : $g$ متناقصة تماماً.
3. $g (e) = 0$ .
الجواب $g^{'} (x) = - \frac{1}{x} < 0$ : $g$ متناقصة تماماً؛ $lim_{0^{+}} g = + \infty$ و $lim_{+ \infty} g = - \infty$ .

الدالة اللوغاريتمية النيبيرية
2 ب1 ن

عيّن الوضع النسبي للمنحنيين $(C_{f})$ و $(C_{g})$ ثم ارسم $(C_{g})$ على المجال $] 0; e^{2}]$ .
الحل
1. $f (x) - g (x) = 2 (ln x)^{2} - ln x - 1 - 1 + ln x = 2 (ln x)^{2} - 2 = 2 (ln x - 1) (ln x + 1)$ .
2. تنعدم عند $ln x = \pm 1$ أي $x = \frac{1}{e}$ و $x = e$ .
3. موجبة لما $x \in] 0; \frac{1}{e} [\cup] e; + \infty [$ وسالبة لما $x \in] \frac{1}{e}; e [$ .
4. $(C_{f})$ أعلى $(C_{g})$ على $] 0; \frac{1}{e}]$ و $[e; + \infty [$ و $(C_{f})$ أسفل $(C_{g})$ على $[\frac{1}{e}; e]$ .
الجواب $f (x) - g (x) = 2 (ln x - 1) (ln x + 1)$ : $(C_{f})$ أعلى $(C_{g})$ على $] 0; \frac{1}{e} [$ و $] e; + \infty [$ ، وأسفله على $] \frac{1}{e}; e [$ ؛ يتقاطعان عند $\frac{1}{e}$ و $e$ .

المستقيم المقارب المائل والوضع النسبي الدالة اللوغاريتمية النيبيرية
3 أ0,25 ن

احسب $h^{'} (x)$ واستنتج دالة أصلية للدالة $x \mapsto (ln x)^{2}$ على $] 0; + \infty [$ .
الحل
1. $(x (ln x)^{2})^{'} = (ln x)^{2} + 2 ln x$ و $(2 x ln x)^{'} = 2 ln x + 2$ .
2. $h^{'} (x) = (ln x)^{2} + 2 ln x - 2 ln x - 2 + 2 = (ln x)^{2}$ .
الجواب $h^{'} (x) = (ln x)^{2}$ ، إذن $h$ دالة أصلية لـ $x \mapsto (ln x)^{2}$ .

الدوال الأصلية والحساب التكاملي
3 ب0,5 ن

احسب العدد: $\int_{\frac{1}{e}}^{e} [f (x) - g (x)] d x$ (اكتب العبارة بدلالة e).
الحل
1. $\int_{\frac{1}{e}}^{e} [f (x) - g (x)] d x = 2 \int_{\frac{1}{e}}^{e} [(ln x)^{2} - 1] d x = 2 [h (x) - x]_{\frac{1}{e}}^{e}$ .
2. $h (e) = e - 2 e + 2 e = e$ و $h (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + \frac{2}{e} = \frac{5}{e}$ .
3. $2 [(e - e) - (\frac{5}{e} - \frac{1}{e})] = - \frac{8}{e}$ .
4. العدد سالب لأن $(C_{f})$ أسفل $(C_{g})$ على $[\frac{1}{e}; e]$ .
الجواب $- \frac{8}{e}$

الدوال الأصلية والحساب التكاملي