حل بكالوريا 2014 رياضيات شعبة تقني رياضي — الموضوع الأول مفصّل خطوة بخطوة

1. $z-i=0$ يعطي $z_3=i$.
2. $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$: $\Delta =12-16=-4=(2i{)}^2$.
3. $z=\frac{2\sqrt{3}\pm 2i}{2}$، أي $z_1=\sqrt{3}+i$ و $z_2=\sqrt{3}-i$.

الجواب $S=\left\{i;\sqrt{3}+i;\sqrt{3}-i\right\}$

انتبه كتابة $\sqrt{\Delta }=\sqrt{-4}$: في $\mathbb{C}$ نكتب $\Delta =(2i{)}^2$.

المعادلات من الدرجة الثانية في المجموعة C

1. $z_1=2e^{i\frac{\pi }{6}}$ و $z_2=2e^{-i\frac{\pi }{6}}$.
2. $\frac{z_1}{z_2}=e^{i\left(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6}\right)}=e^{i\frac{\pi }{3}}$.
3. تحقق جبري: $\frac{(\sqrt{3}+i{)}^2}{4}=\frac{2+2\sqrt{3}i}{4}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$.

الجواب $\frac{z_1}{z_2}=e^{i\frac{\pi }{3}}$

الشكل الأسي لعدد مركب

1. ${\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}^n=e^{i\frac{n\pi }{3}}$.
2. تخيلي صرف يعني $\frac{n\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi$ مع $k\in \mathbb{Z}$، أي $2n=3+6k$.
3. $2n$ زوجي و $3+6k$ فردي، إذن لا يوجد أي عدد طبيعي $n$ يحقق المطلوب.

الجواب لا يوجد: الشرط $2n=3+6k$ مستحيل لأن $2n$ زوجي و $3+6k$ فردي.

الشكل الأسي لعدد مركب

1. $\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}=\frac{-\sqrt{3}}{-2i}=-\frac{\sqrt{3}}{2}i=\frac{\sqrt{3}}{2}{e}^{-i\frac{\pi }{2}}$.
2. $z^{\prime }-z_1=\frac{\sqrt{3}}{2}{e}^{-i\frac{\pi }{2}}(z-z_1)$.
3. بالنشر: $z^{\prime }=-\frac{\sqrt{3}}{2}iz+\frac{\sqrt{3}}{2}i(\sqrt{3}+i)+\sqrt{3}+i=-\frac{\sqrt{3}}{2}iz+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{5}{2}i$.
4. النسبة $\frac{\sqrt{3}}{2}$ والزاوية $-\frac{\pi }{2}$.

الجواب $z^{\prime }=-\frac{\sqrt{3}}{2}iz+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{5}{2}i$، نسبته $\frac{\sqrt{3}}{2}$ وزاويته $-\frac{\pi }{2}$.

التحويلات النقطية والأعداد المركبة

1. $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=-\frac{\pi }{2}$ لأن زاوية التشابه $-\frac{\pi }{2}$.
2. إذن $ABC$ قائم في $A$ (و $AC=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$).

الجواب المثلث $ABC$ قائم في $A$.

التحويلات النقطية والأعداد المركبة

1. الشرط يكافئ $M{A}^2+M{C}^2=5$.
2. $\omega$ منتصف $[AC]$: $z_{\omega }=\frac{\sqrt{3}+2i}{2}$، و $AC=|z_3-z_1|=\sqrt{3}$.
3. $M{A}^2+M{C}^2=2M{\omega }^2+\frac{A{C}^2}{2}=2M{\omega }^2+\frac{3}{2}$.
4. $2M{\omega }^2+\frac{3}{2}=5$ إذن $M{\omega }^2=\frac{7}{4}$، أي $M\omega =\frac{\sqrt{7}}{2}$.

الجواب $(E)$ هي الدائرة التي مركزها $\omega \left(\frac{\sqrt{3}}{2};1\right)$ ونصف قطرها $r=\frac{\sqrt{7}}{2}$.

انتبه نسيان الحد $\frac{A{C}^2}{2}$ في مبرهنة المتوسط.

الأعداد المركبة والهندسة

1. $|z-z_1|=|z-z_3|$ تعني $MA=MC$.
2. إذن $(E^{\prime })$ محور $[AC]$؛ و $A$ و $C$ لهما نفس الترتيب $1$، فالمحور هو المستقيم $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

الجواب $(E^{\prime })$ هي محور القطعة $[AC]$، معادلته $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

الأعداد المركبة والهندسة

1. من $x$: $3+2t=1$ إذن $t=-1$.
2. من $y$: $-2+2=-1-t^{\prime }$ إذن $t^{\prime }=-1$.
3. تحقق من $z$: $1+1=2$ و $4-2=2$. إذن $B(1;0;2)$.

الجواب $B(1;0;2)$

التمثيل الوسيطي وتقاطع المستويات

1. شعاعا توجيه: ${\vec{u}}_1(2;-2;-1)$ و ${\vec{u}}_2(0;-1;2)$، غير مرتبطين خطياً.
2. $(P)$ يشمل $B(1;0;2)$ وموجه بـ ${\vec{u}}_1$ و ${\vec{u}}_2$.
3. $x=1+2t$ ، $y=-2t-t^{\prime }$ ، $z=2-t+2t^{\prime }$.

الجواب $(P):x=1+2t,y=-2t-t^{\prime },z=2-t+2t^{\prime }$ ، $(t;t^{\prime })\in {\mathbb{R}}^2$

التمثيل الوسيطي وتقاطع المستويات

1. من المعادلة الأولى $t=\frac{5}{2}$، ثم من الثانية $t^{\prime }=-5-4=-9$.
2. في الثالثة: $2-\frac{5}{2}-18=-18,5\ne 4$.
3. الجملة ليس لها حل، إذن $A\notin (P)$.

الجواب الجملة $6=1+2t,4=-2t-t^{\prime },4=2-t+2t^{\prime }$ ليس لها حل.

التمثيل الوسيطي وتقاطع المستويات

1. $B\in (P)$ (من أجل $t=t^{\prime }=0$).
2. $\overrightarrow{AB}(-5;-4;-2)$.
3. $\overrightarrow{AB}\cdot {\vec{u}}_1=-10+8+2=0$ و $\overrightarrow{AB}\cdot {\vec{u}}_2=0+4-4=0$.
4. $(AB)$ عمودي على $(P)$، إذن $B$ هي المسقط العمودي لـ $A$ على $(P)$.

الجواب $B\in (P)$ و $\overrightarrow{AB}\cdot {\vec{u}}_1=0$ و $\overrightarrow{AB}\cdot {\vec{u}}_2=0$.

المعادلة الديكارتية لمستو والمسافة

1. $(Q):5x+y-7z+d=0$.
2. $A\in (Q)$: $30+4-28+d=0$ إذن $d=-6$.

الجواب $(Q):5x+y-7z-6=0$

المعادلة الديكارتية لمستو والمسافة

1. $({\Delta }_1)$: $5(3+2t)+(-2-2t)-7(1-t)-6=15t=0$ إذن $t=0$ و $C(3;-2;1)$.
2. $({\Delta }_2)$: $5+(-1-t^{\prime })-7(4+2t^{\prime })-6=-30-15t^{\prime }=0$ إذن $t^{\prime }=-2$ و $D(1;1;0)$.

الجواب $C(3;-2;1)$ و $D(1;1;0)$

المعادلة الديكارتية لمستو والمسافةالتمثيل الوسيطي وتقاطع المستويات

1. $\overrightarrow{BC}(2;-2;-1)$ و $\overrightarrow{BD}(0;1;-2)$: $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BD}=0-2+2=0$، إذن $BCD$ قائم في $B$.
2. $BC=3$ و $BD=\sqrt{5}$، ومساحة $BCD$: $\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
3. الارتفاع $AB=\sqrt{25+16+4}=3\sqrt{5}$ لأن $B$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(P)$.
4. $V=\frac{1}{3}\times \frac{3\sqrt{5}}{2}\times 3\sqrt{5}=\frac{15}{2}$ وحدة حجم.

الجواب $BCD$ قائم في $B$، و $V(ABCD)=\frac{15}{2}$ وحدة حجم.

المعادلة الديكارتية لمستو والمسافة

1. $d(B,(Q))=\frac{|5+0-14-6|}{\sqrt{25+1+49}}=\frac{15}{5\sqrt{3}}=\sqrt{3}$.
2. $S(ACD)=\frac{3V(ABCD)}{d(B,(Q))}=\frac{3\times \frac{15}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{15\sqrt{3}}{2}$.

الجواب $S(ACD)=\frac{15\sqrt{3}}{2}$ وحدة مساحة.

المعادلة الديكارتية لمستو والمسافة

1. $f(x)-x=-\ln (x-1)$.
2. $\ln (x-1)\le 0$ لما $0<x-1\le 1$ أي $x\in ]1;2]$، و $\ln (x-1)>0$ لما $x>2$.

الجواب $f(x)-x\ge 0$ على $]1;2]$ و $f(x)-x<0$ على $]2;+\infty [$.

الدالة اللوغاريتمية النيبيرية

1. $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x-1}=\frac{x-2}{x-1}$.
2. $x-1>0$ على المجال، فإشارة $f^{\prime }(x)$ هي إشارة $x-2$.

الجواب $f^{\prime }(x)=\frac{x-2}{x-1}$: $f$ متناقصة تماماً على $]1;2]$ ومتزايدة تماماً على $[2;+\infty [$.

الدالة اللوغاريتمية النيبيريةالمشتقة واتجاه التغير

1. $f$ متزايدة تماماً على $[2;e+1]$.
2. $2\le x\le e+1$ يعطي $f(2)\le f(x)\le f(e+1)$.
3. $f(2)=2-\ln 1=2$ و $f(e+1)=e+1-\ln e=e$؛ إذن $f(x)\in [2;e]\subset [2;e+1]$.

الجواب $2=f(2)\le f(x)\le f(e+1)=e$، و $[2;e]\subset [2;e+1]$.

المشتقة واتجاه التغير

1. التحقق: $u_0=e+1\in [2;e+1]$.
2. نفرض $u_n\in [2;e+1]$.
3. $u_{n+1}=f(u_n)$، وحسب I-2 ب: $f(u_n)\in [2;e+1]$.
4. إذن من أجل كل $n$: $u_n\in [2;e+1]$.

الجواب $u_0=e+1\in [2;e+1]$، وإذا كان $u_n\in [2;e+1]$ فإن $u_{n+1}=f(u_n)\in [2;e+1]$.

البرهان بالتراجع

1. $u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n$.
2. $u_n\in [2;e+1]$ وحسب I-1 فإن $f(x)-x\le 0$ لما $x\ge 2$.
3. إذن $u_{n+1}-u_n\le 0$: المتتالية متناقصة.

الجواب $u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\le 0$: $(u_n)$ متناقصة.

اتجاه تغير متتالية ونهايتها

1. $(u_n)$ متناقصة ومحدودة من الأسفل بـ $2$، فهي متقاربة.
2. نضع $\lim u_n=\ell$؛ $f$ مستمرة على $[2;e+1]$ إذن $\ell =f(\ell )$.
3. $\ell -\ln (\ell -1)=\ell$ يعطي $\ln (\ell -1)=0$، أي $\ell =2$.

الجواب $(u_n)$ متقاربة و $\lim u_n=2$

انتبه حل $\ell =f(\ell )$ دون التحقق أن $\ell$ في المجال $[2;e+1]$.

اتجاه تغير متتالية ونهايتها

1. ${\lim }_{x\to 0^{+}}g(x)=0$ لأن ${\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$.
2. $g^{\prime }(x)=\ln x+1+1=2+\ln x$.
3. $2+\ln x<0$ لما $x<e^{-2}$ و $>0$ لما $x>e^{-2}$.
4. $g(e^{-2})=-2e^{-2}+e^{-2}=-e^{-2}$ و $g(3)=3\ln 3+3$؛ ثم جدول التغيرات.

الجواب $g^{\prime }(x)=2+\ln x$: $g$ متناقصة على $]0;e^{-2}]$ ومتزايدة على $[e^{-2};3]$؛ $g(e^{-2})=-e^{-2}$ ، $g(3)=3+3\ln 3$ ، ${\lim }_{x\to 0^{+}}g(x)=0$.

الدالة اللوغاريتمية النيبيريةالمشتقة واتجاه التغير

1. على $]0;e^{-2}]$: $g(x)\in [-e^{-2};0[$ و $2\notin$ هذا المجال، فلا حل.
2. على $[e^{-2};3]$: $g$ مستمرة ومتزايدة تماماً و $2\in [-e^{-2};3+3\ln 3]$، إذن حل وحيد $\alpha$.
3. $g(1,45)\approx 1,99<2$ و $g(1,46)\approx 2,01>2$، إذن $1,45<\alpha <1,46$.

الجواب لا حل في $]0;e^{-2}]$، وحل وحيد في $]e^{-2};3[$؛ $g(1,45)\approx 1,99$ و $g(1,46)\approx 2,01$.

مبرهنة القيم المتوسطة والحل الوحيد

1. على $]0;e^{-2}]$: $g(x)\le 0<2$.
2. على $[e^{-2};3]$: $g$ متزايدة و $g(\alpha )=2$.

الجواب $g(x)-2<0$ على $]0;\alpha [$ و $g(x)-2>0$ على $]\alpha ;3]$.

مبرهنة القيم المتوسطة والحل الوحيد

1. في الشكل نصفا مماسين مختلفان عند النقطة (2; 0): نقطة زاوية.
2. التخمين: f غير قابلة للاشتقاق عند 2.

الجواب $f$ لا تقبل الاشتقاق عند $2$ لأن $(C_f)$ لا يقبل مماساً في النقطة ذات الفاصلة $2$ (نصفا مماسين).

قابلية الاشتقاق عند عدد والنقطة الزاوية

1. ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}={\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{(x-2)\ln x}{x-2}=\ln 2$.
2. ${\lim }_{x\to 2^{-}}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}={\lim }_{x\to 2^{-}}\frac{-(x-2)\ln x}{x-2}=-\ln 2$.
3. $\ln 2\ne -\ln 2$، إذن $f$ غير قابلة للاشتقاق عند $2$.

الجواب العدد المشتق من اليمين $\ln 2$ ومن اليسار $-\ln 2$، مختلفان.

قابلية الاشتقاق عند عدد والنقطة الزاوية

1. ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$ (لأن $2-x\to 2$ و $\ln x\to -\infty$).
2. على $]0;2[$: $f^{\prime }(x)=-\ln x+\frac{2-x}{x}=\frac{2-x-x\ln x}{x}=-\frac{g(x)-2}{x}$.
3. على $]2;3]$: $f^{\prime }(x)=\ln x+\frac{x-2}{x}=\frac{g(x)-2}{x}$.
4. باستعمال إشارة $g(x)-2$: $f^{\prime }(x)>0$ على $]0;\alpha [$، $f^{\prime }(x)<0$ على $]\alpha ;2[$، $f^{\prime }(x)>0$ على $]2;3]$.
5. $f(\alpha )=(2-\alpha )\ln \alpha$ ، $f(2)=0$ ، $f(3)=\ln 3$؛ ثم جدول التغيرات.

الجواب $f$ متزايدة على $]0;\alpha ]$، متناقصة على $[\alpha ;2]$، متزايدة على $[2;3]$؛ $f(\alpha )=(2-\alpha )\ln \alpha$ ، $f(2)=0$ ، $f(3)=\ln 3$ ، ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$.

انتبه نسيان تغيير إشارة القيمة المطلقة على $]0;2]$.

المشتقة واتجاه التغيرالدالة اللوغاريتمية النيبيرية

1. لما $x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}$: $\cos x\to 0^{+}$، إذن $\ln (\cos x)\to -\infty$ و $2-\cos x\to 2$.
2. $\lim h(x)=-\infty$، و $x=\frac{\pi }{2}$ معادلة مستقيم مقارب.

الجواب ${\lim }_{x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}}h(x)=-\infty$

الدالة اللوغاريتمية النيبيرية

1. $h(x)=|\cos x-2|\ln (\cos x)=f(\cos x)$.
2. $h$ مركب الدالة $x\mapsto \cos x$ متبوعة بالدالة $x\mapsto f(x)$.
3. $\cos$ متناقصة تماماً على $\left[0;\frac{\pi }{2}\right[$ وقيمها في $]0;1]$، و $f$ متزايدة تماماً على $]0;1]\subset ]0;\alpha ]$؛ إذن $h$ متناقصة تماماً.
4. $h(0)=(2-1)\ln 1=0$ و $h^{\prime }(0)=-\sin 0\times f^{\prime }(1)=0$: مماس أفقي في المبدأ.
5. الرسم: $(C_h)$ ينطلق من $O$ بمماس أفقي وينزل نحو $-\infty$ مقترباً من $(\Delta ):x=\frac{\pi }{2}$.

الجواب $h(x)=f(\cos x)$: $h$ متناقصة تماماً على $\left[0;\frac{\pi }{2}\right[$، $h(0)=0$ و $h^{\prime }(0)=0$.

المشتقة واتجاه التغيرالدالة اللوغاريتمية النيبيرية