حل بكالوريا 2014 رياضيات شعبة تقني رياضي — الموضوع الثاني مفصّل خطوة بخطوة

شعبة تقني رياضي · الموضوع الثاني · على 20 · 29 سؤالاً

التمرين الأول 4,5 ن

نعتبر في المستوي المركب المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس

(O; u, v)

النقطة

A

ذات اللاحقة

z_{0} = 1 + i

1 أ0,75 ن

عيّن ثم أنشئ $(γ)$ مجموعة النقط $M (z)$ من المستوي حيث: $z = z_{0} + 2 e^{i θ}$ و $θ$ يمسح $R$ .
الحل
1. $z - z_{0} = 2 e^{i θ}$ إذن $∣ z - z_{0} ∣ = 2$ ، أي $A M = 2$ .
2. لما $θ$ يمسح $R$ نحصل على كل الدائرة ذات المركز $A$ ونصف القطر $2$ .
الجواب $(γ)$ هي الدائرة التي مركزها $A$ ونصف قطرها $2$ .

الأعداد المركبة والهندسة
1 ب0,75 ن

عيّن ثم أنشئ $(γ^{'})$ مجموعة النقط $M (z)$ من المستوي حيث: $z = z_{0} + k e^{i \frac{3 π}{4}}$ و $k$ يمسح $R^{+}$ .
الحل
1. $z - z_{0} = k e^{i \frac{3 π}{4}}$ مع $k \geq 0$ : $A M$ يوافق الشعاع $k (cos \frac{3 π}{4}; sin \frac{3 π}{4})$ .
2. نصف مستقيم مبدؤه $A$ في اتجاه الزاوية $\frac{3 π}{4}$ (نحو الأعلى واليسار)، معامل توجيهه $- 1$ .
الجواب $(γ^{'})$ نصف مستقيم مبدؤه $A$ ومعامل توجيهه $tan \frac{3 π}{4} = - 1$ .

الأعداد المركبة والهندسة
1 ج0,5 ن

عيّن إحداثيات نقطة تقاطع $(γ)$ و $(γ^{'})$ . (اكتب $x, y$ باستعمال sqrt)
الحل
1. النقطة على $(γ^{'})$ وعلى بعد $2$ من $A$ : $k = 2$ .
2. $z = 1 + i + 2 (- \frac{2}{2} + \frac{2}{2} i) = 1 - 2 + i (1 + 2)$ .
الجواب $(1 - 2; 1 + 2)$

الأعداد المركبة والهندسة
2 أ1 ن

نسمي $B$ النقطة التي لاحقتها $z_{1} = z_{0} + 2 e^{i \frac{3 π}{4}}$ . عيّن الشكل الجبري للعدد المركب $\frac{z _{1} - z _{0}}{z _{0}}$ ، ثم استنتج طبيعة المثلث $O A B$ .
الحل
1. $z_{0} = 2 e^{i \frac{π}{4}}$ ، إذن $\frac{z _{1} - z _{0}}{z _{0}} = \frac{2 e ^{i \frac{3 π}{4}}}{2 e ^{i \frac{π}{4}}} = 2 e^{i \frac{π}{2}} = i 2$ .
2. $\frac{z _{B} - z _{A}}{z _{O} - z _{A}} = \frac{z _{1} - z _{0}}{- z _{0}} = - i 2$ : تخيلي صرف.
3. إذن $(A O; A B) = - \frac{π}{2}$ : المثلث $O A B$ قائم في $A$ .
الجواب $\frac{z _{1} - z _{0}}{z _{0}} = i 2$ ؛ و $\frac{z _{0} - z _{1}}{z _{0}} = - i 2$ ، فالمثلث $O A B$ قائم في $A$ .

الأعداد المركبة والهندسة
2 ب0,25 ن

عيّن $z_{2}$ لاحقة النقطة $C$ صورة النقطة $B$ بالدوران الذي مركزه $A$ وزاويته $- \frac{π}{2}$ .
الحل
1. $z_{2} - z_{0} = e^{- i \frac{π}{2}} (z_{1} - z_{0}) = - i \times 2 e^{i \frac{3 π}{4}} = 2 e^{i \frac{π}{4}} = 2 + i 2$ .
2. $z_{2} = 1 + 2 + i (1 + 2)$ .
الجواب $z_{2} = 1 + 2 + i (1 + 2)$

التحويلات النقطية والأعداد المركبة
2 ج0,5 ن

عيّن العددين الحقيقيين $α$ و $β$ بحيث تكون النقطة $O$ مرجحاً للجملة ${(A; α), (C; β)}$ و $α + β = 2$ . (اكتب $α, β$ )
الحل
1. $O$ مرجح يعني $α z_{0} + β z_{2} = 0$ ، و $z_{2} = (1 + 2) (1 + i) = (1 + 2) z_{0}$ .
2. إذن $α + (1 + 2) β = 0$ و $α + β = 2$ .
3. بالطرح: $2 β = - 2$ ، أي $β = - 1$ و $α = 1 + 2$ .
الجواب $(α; β) = (1 + 2; - 1)$

المرجح ومجموعات النقط في الفضاء
2 د0,75 ن

عيّن ثم أنشئ $(E)$ مجموعة النقط $M$ من المستوي حيث: $((1 + 2) M A - M C) \cdot (M A - M C) = 0$ .
الحل
1. $(1 + 2) M A - M C = α M A + β M C = (α + β) M O = 2 M O$ .
2. $M A - M C = C A$ .
3. الشرط: $2 M O \cdot C A = 0$ ، أي $O M \cdot A C = 0$ .
4. $A C (2; 2)$ ، إذن $(E) : x + y = 0$ ، أي المستقيم $y = - x$ .
الجواب $O M \cdot A C = 0$ : $(E)$ هو المستقيم المار من $O$ و $A C$ شعاع ناظمي له، معادلته $y = - x$ .

المرجح ومجموعات النقط في الفضاء الأعداد المركبة والهندسة

التمرين الثاني 4,5 ن

الفضاء منسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس

(O; i, j, k)

A

B

C

ثلاث نقط من الفضاء حيث

A (0; - 1; 1)

B (1; 3; 2)

C (- 1; 3; 4)

1 أ1 ن

احسب الجداء السلمي $A B \cdot A C$ ، ثم استنتج القيمة المدورة إلى الوحدة، بالدرجات، للزاوية $B A C$ .
الحل
1. $A B (1; 4; 1)$ و $A C (- 1; 4; 3)$ : $A B \cdot A C = - 1 + 16 + 3 = 18$ .
2. $A B = 18$ و $A C = 26$ .
3. $cos B A C = \frac{18}{18 26} \approx 0, 832$ ، إذن $B A C \approx 34°$ .
الجواب $A B \cdot A C = 18$ و $B A C \approx 34°$

المعادلة الديكارتية لمستو والمسافة
1 ب0,5 ن

بيّن أن النقط $A$ ، $B$ ، $C$ تعيّن مستوياً.
الحل
1. $B A C \approx 34°$ : لا تساوي $0$ ولا $π$ .
2. إذن $A B$ و $A C$ غير مرتبطين خطياً، والنقط تعيّن مستوياً.
الجواب $B A C \neq = 0$ و $B A C \neq = π$ ، فالنقط ليست على استقامة واحدة وتعيّن مستوياً.

المعادلة الديكارتية لمستو والمسافة
2 أ0,5 ن

بيّن أن الشعاع $n (2; - 1; 2)$ ناظمي للمستوي $(A B C)$ .
الحل
1. $n \cdot A B = 2 - 4 + 2 = 0$ .
2. $n \cdot A C = - 2 - 4 + 6 = 0$ .
3. إذن n عمودي على شعاعين غير مرتبطين خطياً من المستوي: ناظمي له.
الجواب $n \cdot A B = 0$ و $n \cdot A C = 0$ .

المعادلة الديكارتية لمستو والمسافة
2 ب0,5 ن

اكتب معادلة ديكارتية للمستوي $(A B C)$ . (على الشكل $a x + b y + cz + d = 0$ )
الحل
1. $2 x - y + 2 z + d = 0$ .
2. $A \in (A B C)$ : $0 + 1 + 2 + d = 0$ إذن $d = - 3$ .
الجواب $(A B C) : 2 x - y + 2 z - 3 = 0$

المعادلة الديكارتية لمستو والمسافة
31 ن

ليكن $(S)$ سطح الكرة الذي معادلته: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 6 y - 2 z + 5 = 0$ . نسمي $Ω$ و $R$ مركز ونصف قطر $(S)$ . احسب $R$ وعيّن إحداثيات $Ω$ . (اكتب $x, y, z, R$ )
الحل
1. $(x - 2)^{2} - 4 + (y + 3)^{2} - 9 + (z - 1)^{2} - 1 + 5 = 0$ .
2. $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 1)^{2} = 9$ .
3. $Ω (2; - 3; 1)$ و $R = 3$ .
الجواب $Ω (2; - 3; 1)$ و $R = 3$

سطح الكرة والمستوي المماس لها
41 ن

اكتب معادلة ديكارتية لكل من المستويين $(P_{1})$ و $(P_{2})$ مماسي سطح الكرة $(S)$ والموازيين للمستوي $(A B C)$ .
الحل
1. $(P) : 2 x - y + 2 z + d = 0$ .
2. $d (Ω, (P)) = \frac{∣4 + 3 + 2 + d ∣}{4 + 1 + 4} = \frac{∣9 + d ∣}{3} = 3$ ، إذن $∣9 + d ∣ = 9$ .
3. $d = 0$ أو $d = - 18$ .
4. $(P_{1}) : 2 x - y + 2 z = 0$ و $(P_{2}) : 2 x - y + 2 z - 18 = 0$ .
الجواب $(P_{1}) : 2 x - y + 2 z = 0$ و $(P_{2}) : 2 x - y + 2 z - 18 = 0$

سطح الكرة والمستوي المماس لها

التمرين الثالث 5 ن

n

p

عددان طبيعيان. نضع:

C_{n} = 16 n + 9

D_{p} = 5^{p}

. (السؤال 3)

f

هي الدالة المعرفة على المجال

[0; + \infty [

بـ:

f (x) = 5^{(4 x + 2)} - 9

. (السؤال 4)

(u_{n})

المتتالية المعرفة على

N

كما يلي:

u_{0} = 1

ومن أجل كل

n

من

N

u_{n + 1} = 5^{4} (u_{n} + \frac{9}{16}) - \frac{9}{16}

11 ن

ادرس، حسب قيم $n$ ، بواقي القسمة الإقليدية على $16$ للعدد $5^{n}$ .
الحل
1. $5^{0} \equiv 1$ ، $5^{1} \equiv 5$ ، $5^{2} = 25 \equiv 9$ ، $5^{3} \equiv 45 \equiv 13$ ، $5^{4} \equiv 65 \equiv 1 [16]$ .
2. $5^{4} \equiv 1 [16]$ إذن $5^{4 k + r} \equiv 5^{r} [16]$ : البواقي دورية بدور $4$ .
الجواب $n = 4 k$ : الباقي $1$ ؛ $n = 4 k + 1$ : $5$ ؛ $n = 4 k + 2$ : $9$ ؛ $n = 4 k + 3$ : $13$ .

القسمة الإقليدية والموافقات
2 أ0,5 ن

بيّن أنه إذا كان $p = 4 k + 2$ حيث $k$ عدد طبيعي، فإنه يوجد عدد طبيعي $n$ يحقق $C_{n} = D_{p}$ .
الحل
1. من أجل $p = 4 k + 2$ : $5^{p} \equiv 9 [16]$ .
2. إذن $5^{p} - 9$ مضاعف لـ $16$ ، وهو موجب ( $5^{p} \geq 25$ ).
3. يوجد $n \in N$ حيث $5^{p} = 16 n + 9$ ، أي $D_{p} = C_{n}$ .
الجواب $5^{p} \equiv 9 [16]$ ، فيوجد $n \in N$ حيث $5^{p} = 9 + 16 n$ ، أي $C_{n} = D_{p}$ .

القسمة الإقليدية والموافقات
2 ب0,5 ن

عيّن $n$ من أجل $p = 6$ .
الحل
1. $5^{6} = 15625$ .
2. $16 n + 9 = 15625$ إذن $n = \frac{15616}{16} = 976$ .
الجواب $n = 976$

القسمة الإقليدية والموافقات
31,25 ن

ادرس تغيرات الدالة $f$ ، ثم استنتج إشارة $f (x)$ .
الحل
1. $f (x) = e^{(4 x + 2) l n 5} - 9$ ، إذن $f^{'} (x) = 4 ln 5 \times 5^{4 x + 2} > 0$ .
2. $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ و $f (0) = 25 - 9 = 16$ .
3. جدول التغيرات: f متزايدة تماماً من 16 إلى +∞.
4. أصغر قيمة $16 > 0$ ، إذن $f (x) > 0$ على $[0; + \infty [$ .
الجواب $f^{'} (x) = 4 ln 5 \times 5^{4 x + 2} > 0$ : $f$ متزايدة تماماً على $[0; + \infty [$ ، $f (0) = 16$ و $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ ؛ إذن $f (x) > 0$ .

الدالة الأسية المشتقة واتجاه التغير
4 أ0,75 ن

برهن بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي $n$ : $u_{n} = \frac{5 ^{(4 n + 2)} - 9}{16}$ .
الحل
1. $n = 0$ : $\frac{5 ^{2} - 9}{16} = 1 = u_{0}$ .
2. نفرض $u_{n} = \frac{5 ^{4 n + 2} - 9}{16}$ ، إذن $u_{n} + \frac{9}{16} = \frac{5 ^{4 n + 2}}{16}$ .
3. $u_{n + 1} = 5^{4} \times \frac{5 ^{4 n + 2}}{16} - \frac{9}{16} = \frac{5 ^{4 n + 6} - 9}{16} = \frac{5 ^{4 (n + 1) + 2} - 9}{16}$ .
الجواب صحيحة لـ $n = 0$ ، والوراثة تعطي $u_{n + 1} = \frac{5 ^{4 n + 6} - 9}{16}$ .

البرهان بالتراجع
4 ب0,5 ن

برهن أنه من أجل كل عدد طبيعي $n$ ، فإن $u_{n}$ عدد طبيعي.
الحل
1. $4 n + 2$ من الشكل $4 k + 2$ ، فحسب السؤال 1: $5^{4 n + 2} \equiv 9 [16]$ .
2. $5^{4 n + 2} - 9 \equiv 0 [16]$ وهو موجب، إذن $u_{n} = \frac{5 ^{4 n + 2} - 9}{16} \in N$ .
الجواب $5^{4 n + 2} \equiv 9 [16]$ إذن $16$ يقسم $5^{4 n + 2} - 9$ و $u_{n} \in N$ .

القسمة الإقليدية والموافقات
50,5 ن

استنتج اتجاه تغير المتتالية $(u_{n})$ .
الحل
1. $u_{n} = \frac{1}{16} f (n)$ مع $\frac{1}{16} > 0$ .
2. $f$ متزايدة تماماً على $[0; + \infty [$ ، إذن $(u_{n})$ متزايدة تماماً.
الجواب $u_{n} = \frac{1}{16} f (n)$ و $f$ متزايدة تماماً، إذن $(u_{n})$ متزايدة تماماً.

الدالة الأسية

التمرين الرابع 6 ن

f

هي الدالة المعرفة على

R

بـ:

f (x) = (x - 1) e^{x}

، و

(C_{f})

تمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس

(O; i, j)

. (السؤال 5)

h

هي الدالة المعرفة على

R

بـ:

h (x) = (∣ x ∣ + 1) e^{- ∣ x ∣}

(C_{h})

تمثيلها البياني. (السؤال 6)

g

دالة معرفة على

R

بـ:

g (x) = (a x + b) e^{x}

حيث

a

b

عددان حقيقيان.

10,5 ن

عيّن نهاية $f$ عند كل من $- \infty$ و $+ \infty$ .
الحل
1. $f (x) = x e^{x} - e^{x}$ و $lim_{x \to - \infty} x e^{x} = 0$ و $lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$ ، إذن $lim_{x \to - \infty} f (x) = 0$ .
2. لما $x \to + \infty$ : $x - 1 \to + \infty$ و $e^{x} \to + \infty$ ، إذن $f (x) \to + \infty$ .
الجواب $lim_{x \to - \infty} f (x) = 0$ و $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$

الدالة الأسية
21 ن

ادرس اتجاه تغير الدالة $f$ على $R$ ثم شكّل جدول تغيراتها.
الحل
1. $f^{'} (x) = e^{x} + (x - 1) e^{x} = x e^{x}$ .
2. $e^{x} > 0$ ، فإشارة $f^{'} (x)$ هي إشارة $x$ .
3. الجدول: من $0$ (عند $- \infty$ ) تنزل إلى $f (0) = - 1$ ثم تصعد إلى $+ \infty$ .
الجواب $f^{'} (x) = x e^{x}$ : $f$ متناقصة تماماً على $] - \infty; 0]$ ومتزايدة تماماً على $[0; + \infty [$ ، و $f (0) = - 1$ .

الدالة الأسية المشتقة واتجاه التغير
3 أ0,5 ن

بيّن أن المعادلة $f (x) = 1$ تقبل حلاً وحيداً $α$ على $R$ ، ثم تحقق أن $1, 27 < α < 1, 28$ .
الحل
1. على $] - \infty; 0]$ : $f (x) \in [- 1; 0 [$ و $1 \in / [- 1; 0 [$ ، فلا حلول.
2. على $[0; + \infty [$ : $f$ مستمرة ومتزايدة تماماً و $1 \in [- 1; + \infty [$ ، إذن حل وحيد $α$ .
3. $f (1, 27) \approx 0, 96 < 1 < f (1, 28) \approx 1, 01$ ، إذن $1, 27 < α < 1, 28$ .
الجواب لا حل على $] - \infty; 0]$ لأن $1 \in / [- 1; 0 [$ ؛ وحل وحيد على $[0; + \infty [$ ؛ $f (1, 27) \approx 0, 96$ و $f (1, 28) \approx 1, 01$ .

مبرهنة القيم المتوسطة والحل الوحيد
3 ب0,5 ن

اكتب معادلة لـ $(T)$ مماس المنحنى $(C_{f})$ عند النقطة ذات الفاصلة $1$ وحدّد وضعية $(C_{f})$ بالنسبة إلى $(T)$ . (اكتب معادلة المماس)
الحل
1. $f (1) = 0$ و $f^{'} (1) = e$ ، إذن $(T) : y = e (x - 1) = e x - e$ .
2. $f (x) - (e x - e) = (x - 1) e^{x} - e (x - 1) = (x - 1) (e^{x} - e)$ .
3. $x - 1$ و $e^{x} - e$ لهما نفس الإشارة، فالفرق $\geq 0$ : $(C_{f})$ أعلى $(T)$ ويمسه في $(1; 0)$ .
الجواب $(T) : y = e x - e$ ؛ و $(C_{f})$ فوق $(T)$ لأن $f (x) - y = (x - 1) (e^{x} - e) \geq 0$ .

معادلة المماس
3 ج0,75 ن

ارسم $(T)$ و $(C_{f})$ .
الحل
1. مستقيم مقارب أفقي $y = 0$ بجوار $- \infty$ .
2. نقط: $(0; - 1)$ ، $(1; 0)$ ، $(α; 1)$ مع $α \approx 1, 27$ .
3. $(T) : y = e x - e$ يمر بـ $(1; 0)$ و $(0; - e)$ .
الجواب $(C_{f})$ يقترب من محور الفواصل عند $- \infty$ ، أدنى نقطة $(0; - 1)$ ، يقطع محور الفواصل في $(1; 0)$ حيث يمسه $(T)$ .

الدالة الأسية
41,25 ن

عيّن قيم العدد الحقيقي $m$ التي من أجلها تقبل المعادلة $(x - 1) e^{x} - (m - 1) e^{m} = - 1$ حلاً واحداً في $R$ .
الحل
1. المعادلة تكافئ $f (x) = f (m) - 1$ .
2. من جدول التغيرات: $f (x) = k$ تقبل حلاً واحداً إذا كان $k = - 1$ أو $k \geq 0$ (لـ $- 1 < k < 0$ حلان، ولـ $k < - 1$ لا حل).
3. $f (m) - 1 = - 1$ يعني $f (m) = 0$ أي $m = 1$ .
4. $f (m) - 1 \geq 0$ يعني $f (m) \geq 1 = f (α)$ ، ولأن $f$ متزايدة تماماً على $[0; + \infty [$ و $α > 0$ (و $f (m) < 0$ لما $m < 0$ ): $m \geq α$ .
الجواب $m = 1$ أو $m \geq α$

انتبه نسيان الحالة $k = - 1$ (الحل الوحيد $x = 0$ ).

استنتاج منحنى من آخر والمناقشة البيانية
5 أ0,25 ن

بيّن أن الدالة $h$ زوجية.
الحل
1. من أجل كل $x \in R$ : $- x \in R$ .
2. $h (- x) = (∣ - x ∣ + 1) e^{- ∣ - x ∣} = (∣ x ∣ + 1) e^{- ∣ x ∣} = h (x)$ .
الجواب $h$ معرفة على $R$ (متناظر بالنسبة إلى $0$ ) و $h (- x) = h (x)$ .

استنتاج منحنى من آخر والمناقشة البيانية
5 ب0,75 ن

ارسم $(C_{h})$ مستعيناً بالمنحنى $(C_{f})$ .
الحل
1. لما $x \leq 0$ : $∣ x ∣ = - x$ و $h (x) = (1 - x) e^{x} = - (x - 1) e^{x} = - f (x)$ .
2. على $] - \infty; 0]$ نرسم نظير $(C_{f})$ بالنسبة إلى محور الفواصل.
3. $h$ زوجية: نكمل الرسم بالتناظر بالنسبة إلى محور التراتيب. القمة $(0; 1)$ و $y = 0$ مقارب عند $\pm \infty$ .
الجواب لما $x \leq 0$ : $h (x) = - f (x)$ ، فـ $(C_{h})$ نظير $(C_{f})$ بالنسبة إلى محور الفواصل على $] - \infty; 0]$ ، ثم نكمل بالتناظر بالنسبة إلى محور التراتيب.

استنتاج منحنى من آخر والمناقشة البيانية
60,5 ن

عيّن $a$ ، $b$ حتى يكون: من أجل كل $x$ من $R$ : $g^{'} (x) = f (x)$ . (اكتب $a, b$ )
الحل
1. $g^{'} (x) = a e^{x} + (a x + b) e^{x} = (a x + a + b) e^{x}$ .
2. بالمطابقة مع $(x - 1) e^{x}$ : $a = 1$ و $a + b = - 1$ ، إذن $b = - 2$ .
الجواب $a = 1$ ، $b = - 2$

الدالة الأسية