حل بكالوريا 2014 رياضيات شعبة علوم تجريبية — الموضوع الثاني مفصّل خطوة بخطوة

1. $u_{n+1}=e^{\frac{1}{2}-(n+1)}=e^{\frac{1}{2}-n}\times e^{-1}=e^{-1}{u}_n$.
2. إذن $(u_n)$ هندسية أساسها $q=e^{-1}=\frac{1}{e}$.
3. $u_0=e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$.

الجواب $u_{n+1}=e^{-1}{u}_n$: هندسية أساسها $q=e^{-1}$ وحدها الأول $u_0=\sqrt{e}$.

المتتاليات الهندسية

1. $\frac{1}{2}-n\to -\infty$ لما $n\to +\infty$، و ${\lim }_{X\to -\infty }{e}^X=0$.
2. (أو: أساسها $0<e^{-1}<1$ فـ $\lim q^n=0$.)
3. إذن ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=0$، ونستنتج أن $(u_n)$ متقاربة.

الجواب ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=0$: المتتالية $(u_n)$ متقاربة.

اتجاه تغير متتالية ونهايتها

1. $S_n$ مجموع $n+1$ حداً متعاقباً لمتتالية هندسية حدها الأول $\sqrt{e}$ وأساسها $e^{-1}\ne 1$.
2. $S_n=u_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\sqrt{e}\left(\frac{1-e^{-n-1}}{1-e^{-1}}\right)$.

الجواب $S_n=\sqrt{e}\left(\frac{1-e^{-n-1}}{1-e^{-1}}\right)$

مجموع حدود متتابعة لمتتالية

1. $v_n=\ln \left(e^{\frac{1}{2}-n}\right)=\frac{1}{2}-n$.
2. $v_{n+1}-v_n=\frac{1}{2}-(n+1)-\frac{1}{2}+n=-1$، أي $v_{n+1}=v_n-1$.
3. إذن $(v_n)$ حسابية أساسها $r=-1$ وحدها الأول $v_0=\frac{1}{2}$.

الجواب $v_n=\frac{1}{2}-n$: $(v_n)$ حسابية أساسها $r=-1$ وحدها الأول $v_0=\frac{1}{2}$.

المتتاليات الحسابية

1. $P_n=\ln u_0+\ln u_1+\cdots +\ln u_n=v_0+v_1+\cdots +v_n$.
2. مجموع $n+1$ حداً من متتالية حسابية: $P_n=\frac{(n+1)}{2}(v_0+v_n)=\frac{n+1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-n\right)$.
3. $P_n=\frac{(n+1)(1-n)}{2}=\frac{1-n^2}{2}$.

الجواب $P_n=\frac{1-n^2}{2}$

مجموع حدود متتابعة لمتتاليةالمتتاليات الحسابية

1. $P_n+4n>0$ تكافئ $\frac{1-n^2}{2}+4n>0$ أي $-n^2+8n+1>0$.
2. جذرا $-n^2+8n+1=0$: $4-\sqrt{17}\approx -0.12$ و $4+\sqrt{17}\approx 8.12$.
3. العبارة موجبة بين الجذرين، ومع $n\in \mathbb{N}$: $n\in [0;8]$.
4. إذن $n\in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$.

الجواب $n\in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$

مجموع حدود متتابعة لمتتالية

1. $\overrightarrow{AB}(0;-1;-1)$ و $\overrightarrow{AC}(1;1;2)$.
2. لو كان $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ لكان $1=k\times 0$: مستحيل.
3. إذن الشعاعان غير مرتبطين خطياً، و $A$ ، $B$ ، $C$ ليست في استقامية.

الجواب $\overrightarrow{AB}(0;-1;-1)$ و $\overrightarrow{AC}(1;1;2)$ غير مرتبطين خطياً.

المعادلة الديكارتية لمستو والمسافة

1. $M(x;y;z)\in (ABC)$ تكافئ وجود عددين $\alpha$ و $\beta$ بحيث $\overrightarrow{AM}=\alpha \overrightarrow{AB}+\beta \overrightarrow{AC}$.
2. $x-1=0\alpha +\beta$ ، $y+1=-\alpha +\beta$ ، $z+2=-\alpha +2\beta$.
3. $(ABC):\{\begin{array}{l}x=1+\beta \\ y=-1-\alpha +\beta \\ z=-2-\alpha +2\beta \end{array}$ ، $(\alpha ,\beta )\in {\mathbb{R}}^2$.

الجواب $x=1+\beta$ ، $y=-1-\alpha +\beta$ ، $z=-2-\alpha +2\beta$ مع $(\alpha ,\beta )\in {\mathbb{R}}^2$ (أو أي تمثيل آخر).

التمثيل الوسيطي وتقاطع المستويات

1. $A$: $1-1+2-2=0$.
2. $B$: $1-2+3-2=0$.
3. $C$: $2+0-0-2=0$.
4. ثلاث نقط ليست في استقامية تحقق المعادلة، إذن هي معادلة للمستوي $(ABC)$.
5. (طريقة أخرى: حذف $\alpha$ و $\beta$ من التمثيل الوسيطي: $\beta =x-1$ و $\alpha =x-y-2$، ثم $z=-2-(x-y-2)+2(x-1)$ أي $x+y-z-2=0$.)

الجواب إحداثيات $A$ ، $B$ ، $C$ تحقق المعادلة، والنقط ليست في استقامية.

المعادلة الديكارتية لمستو والمسافة

1. $\overrightarrow{u_1}(1;-1;-2)$ ناظمي لـ $(P)$ و $\overrightarrow{u_2}(3;2;-1)$ ناظمي لـ $(Q)$، وهما غير مرتبطين خطياً ($\frac{1}{3}\ne \frac{-1}{2}$)، إذن $(P)$ و $(Q)$ يتقاطعان وفق مستقيم.
2. نعوّض في $(P)$: $(t-3)-(-t)-2(t+1)+5=t-3+t-2t-2+5=0$.
3. نعوّض في $(Q)$: $3(t-3)+2(-t)-(t+1)+10=3t-9-2t-t-1+10=0$.
4. كل نقط $(\Delta )$ تنتمي إلى $(P)$ و $(Q)$، إذن $(P)\cap (Q)=(\Delta )$.

الجواب $\overrightarrow{u_1}(1;-1;-2)$ و $\overrightarrow{u_2}(3;2;-1)$ غير مرتبطين خطياً، ونقط $(\Delta )$ تحقق معادلتي $(P)$ و $(Q)$.

التمثيل الوسيطي وتقاطع المستويات

1. $(P)\cap (Q)=(\Delta )$، إذن نبحث عن $(\Delta )\cap (ABC)$.
2. $(t-3)+(-t)-(t+1)-2=0$ أي $-t-6=0$ ومنه $t=-6$.
3. $x=-9$ ، $y=6$ ، $z=-5$: النقطة $E(-9;6;-5)$.

الجواب $(ABC)\cap (P)\cap (Q)=\{E(-9;6;-5)\}$

التمثيل الوسيطي وتقاطع المستويات

1. $d(M,(P))=\frac{|x-y-2z+5|}{\sqrt{1+1+4}}=\frac{|x-y-2z+5|}{\sqrt{6}}$ و $d(M,(Q))=\frac{|3x+2y-z+10|}{\sqrt{14}}$.
2. الشرط يصبح $|x-y-2z+5|=|3x+2y-z+10|$.
3. $|a|=|b|$ تكافئ $a=b$ أو $a=-b$.
4. $3x+2y-z+10=x-y-2z+5$ تعطي $2x+3y+z+5=0$: المستوي $(P_1)$.
5. $3x+2y-z+10=-(x-y-2z+5)$ تعطي $4x+y-3z+15=0$: المستوي $(P_2)$.
6. إذن $(\Gamma )=(P_1)\cup (P_2)$ (المستويان المنصفان للزاوية بين $(P)$ و $(Q)$).

الجواب $(\Gamma )=(P_1)\cup (P_2)$ حيث $(P_1):2x+3y+z+5=0$ و $(P_2):4x+y-3z+15=0$.

انتبه نسيان الحالة $a=-b$ والاكتفاء بمستو واحد.

المعادلة الديكارتية لمستو والمسافة

1. المعادلة تعني $z-i=0$ أو $z^2-2z+5=0$.
2. $z-i=0$ يعطي $z=i$.
3. $z^2-2z+5=0$: $\Delta =4-20=-16=(4i{)}^2$.
4. $z^{\prime }=\frac{2+4i}{2}=1+2i$ و $z^{\prime \prime }=\frac{2-4i}{2}=1-2i$.

الجواب $S=\{i;1+2i;1-2i\}$

المعادلات من الدرجة الثانية في المجموعة C

1. النقطة ذات اللاحقة $a+ib$ لها الإحداثيتان $(a;b)$.
2. $A(0;1)$ على محور التراتيب، $B(1;2)$ و $C(1;-2)$ متناظرتان بالنسبة إلى محور الفواصل.

الجواب $A(0;1)$ ، $B(1;2)$ ، $C(1;-2)$.

الأعداد المركبة والهندسة

1. $B$ و $C$ لهما نفس الفاصلة $1$، إذن $(BC)$ هو المستقيم $x=1$ (يوازي محور التراتيب).
2. المسقط العمودي لـ $A(0;1)$ على $x=1$ هو $H(1;1)$، أي $z_H=1+i$.

الجواب $z_H=1+i$

الأعداد المركبة والهندسة

1. $BC=|z_C-z_B|=|-4i|=4$ و $AH=|z_H-z_A|=|1|=1$.
2. $\mathcal{A}=\frac{BC\times AH}{2}=\frac{4\times 1}{2}=2{\text{cm}}^2$.

الجواب $\mathcal{A}=2{\text{cm}}^2$

الأعداد المركبة والهندسة

1. $z^{\prime }-z_A=\frac{1}{2}{e}^{i\frac{\pi }{2}}(z-z_A)$ أي $z^{\prime }-i=\frac{1}{2}i(z-i)$.
2. $z^{\prime }=\frac{1}{2}iz-\frac{1}{2}{i}^2+i=\frac{1}{2}iz+\frac{1}{2}+i$.

الجواب $z^{\prime }=\frac{1}{2}iz+\frac{1}{2}+i$

التحويلات النقطية والأعداد المركبة

1. تشابه نسبته $k$ يضرب المساحات في $k^2$.
2. ${\mathcal{A}}^{\prime }=\frac{1}{4}\times 2=\frac{1}{2}{\text{cm}}^2$.

الجواب ${\mathcal{A}}^{\prime }={\left(\frac{1}{2}\right)}^2\times 2=\frac{1}{2}{\text{cm}}^2$.

انتبه ضرب المساحة في $k=\frac{1}{2}$ بدل $k^2=\frac{1}{4}$.

التحويلات النقطية والأعداد المركبة

1. $\frac{1+2i}{i}=-i(1+2i)=2-i$، إذن $iz+1+2i=i(z+2-i)$.
2. $|iz+1+2i|=|i|\times |z+2-i|=|z-(-2+i)|$.
3. بوضع $D$ النقطة ذات اللاحقة $-2+i$: الشرط يصبح $OM=DM$.
4. مجموعة النقط $M$ هي محور القطعة $[OD]$ حيث $D(-2;1)$.

الجواب $|z|=|z+2-i|$: المجموعة هي محور القطعة $[OD]$ حيث $D(-2;1)$.

الأعداد المركبة والهندسة

1. نهاية كثير حدود عند $\pm \infty$ هي نهاية حده الأعلى درجة $2x^3$.
2. ${\lim }_{x\to +\infty }2x^3=+\infty$ و ${\lim }_{x\to -\infty }2x^3=-\infty$.

الجواب ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=+\infty$ و ${\lim }_{x\to -\infty }g(x)=-\infty$.

المشتقة واتجاه التغير

1. $g^{\prime }(x)=6x^2-8x+7$.
2. مميزه ${\Delta }^{\prime }=16-42=-26<0$، فـ $g^{\prime }(x)$ من إشارة معامل $x^2$ أي $g^{\prime }(x)>0$ على $\mathbb{R}$.
3. إذن $g$ متزايدة تماماً على $\mathbb{R}$، وجدول تغيراتها: من $-\infty$ إلى $+\infty$.

الجواب $g^{\prime }(x)=6x^2-8x+7>0$: $g$ متزايدة تماماً على $\mathbb{R}$ (من $-\infty$ إلى $+\infty$).

المشتقة واتجاه التغير

1. $g$ مستمرة ومتزايدة تماماً على $\mathbb{R}$ وتأخذ كل القيم من $-\infty$ إلى $+\infty$، فالمعادلة $g(x)=0$ تقبل حلاً وحيداً $\alpha$.
2. $g(0.7)=0.686-1.96+4.9-4=-0.374$.
3. $g(0.8)=1.024-2.56+5.6-4=0.064$.
4. $g(0.7)\times g(0.8)<0$، إذن حسب مبرهنة القيم المتوسطة $0.7<\alpha <0.8$.

الجواب $g$ مستمرة ومتزايدة تماماً على $\mathbb{R}$، و $g(0.7)\approx -0.37<0<g(0.8)\approx 0.06$.

مبرهنة القيم المتوسطة والحل الوحيد

1. $g$ متزايدة تماماً و $g(\alpha )=0$.
2. إذا $x<\alpha$ فإن $g(x)<g(\alpha )=0$، وإذا $x>\alpha$ فإن $g(x)>0$.

الجواب $g(x)<0$ على $]-\infty ;\alpha [$ ، $g(\alpha )=0$ ، $g(x)>0$ على $]\alpha ;+\infty [$.

مبرهنة القيم المتوسطة والحل الوحيد

1. عند $\pm \infty$ نهاية الدالة الناطقة هي نهاية حاصل قسمة الحدين الأعلى درجة: $\frac{x^3}{2x^2}=\frac{x}{2}$.
2. ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x}{2}=+\infty$ و ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{x}{2}=-\infty$.

الجواب ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ و ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$.

المستقيم المقارب المائل والوضع النسبي

1. $\frac{1}{2}(x+1)=\frac{(x+1)(2x^2-2x+1)}{2(2x^2-2x+1)}$.
2. $(x+1)(2x^2-2x+1)=2x^3-2x^2+x+2x^2-2x+1=2x^3-x+1$.
3. نضيف $1-3x$: $2x^3-x+1+1-3x=2x^3-4x+2=2(x^3-2x+1)$.
4. إذن الطرف الأيمن $=\frac{2(x^3-2x+1)}{2(2x^2-2x+1)}=f(x)$.

الجواب بتوحيد المقامات يرجع الطرف الأيمن إلى $\frac{x^3-2x+1}{2x^2-2x+1}$.

المستقيم المقارب المائل والوضع النسبي

1. ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1-3x}{2(2x^2-2x+1)}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{-3x}{4x^2}=0$.
2. إذن ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[f(x)-\frac{1}{2}(x+1)\right]=0$.
3. ومنه المستقيم $(\Delta ):y=\frac{1}{2}(x+1)$ مقارب مائل لـ $(C_f)$ بجوار $+\infty$ و $-\infty$.

الجواب $(\Delta ):y=\frac{1}{2}(x+1)$

المستقيم المقارب المائل والوضع النسبي

1. $f(x)-\frac{1}{2}(x+1)=\frac{1-3x}{2(2x^2-2x+1)}$.
2. $2x^2-2x+1$ مميزه $4-8=-4<0$ فهو موجب دائماً، والإشارة هي إشارة $1-3x$.
3. $1-3x>0$ لما $x<\frac{1}{3}$: $(C_f)$ أعلى $(\Delta )$؛ و $1-3x<0$ لما $x>\frac{1}{3}$: $(C_f)$ أسفل $(\Delta )$.
4. عند $x=\frac{1}{3}$: يتقاطعان في $A\left(\frac{1}{3};\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}+1\right)\right)=A\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$.

الجواب $(C_f)$ أعلى $(\Delta )$ على $\left]-\infty ;\frac{1}{3}\right[$، أسفله على $\left]\frac{1}{3};+\infty \right[$، ويقطعه في $A\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$.

المستقيم المقارب المائل والوضع النسبي

1. $u=x^3-2x+1$، $u^{\prime }=3x^2-2$؛ $v=2x^2-2x+1$، $v^{\prime }=4x-2$.
2. $u^{\prime }v=(3x^2-2)(2x^2-2x+1)=6x^4-6x^3-x^2+4x-2$.
3. $u{v}^{\prime }=(x^3-2x+1)(4x-2)=4x^4-2x^3-8x^2+8x-2$.
4. $u^{\prime }v-u{v}^{\prime }=2x^4-4x^3+7x^2-4x=x(2x^3-4x^2+7x-4)=xg(x)$.
5. إذن $f^{\prime }(x)=\frac{xg(x)}{(2x^2-2x+1{)}^2}$.

الجواب البسط بعد التبسيط: $2x^4-4x^3+7x^2-4x=xg(x)$.

المشتقة واتجاه التغير

1. المقام موجب، فإشارة $f^{\prime }(x)$ هي إشارة $xg(x)$.
2. على $]-\infty ;0[$: $x<0$ و $g(x)<0$، إذن $f^{\prime }(x)>0$.
3. على $]0;\alpha [$: $x>0$ و $g(x)<0$، إذن $f^{\prime }(x)<0$.
4. على $]\alpha ;+\infty [$: $x>0$ و $g(x)>0$، إذن $f^{\prime }(x)>0$.
5. جدول التغيرات: $f$ تتزايد من $-\infty$ إلى $f(0)=1$، تتناقص إلى $f(\alpha )\approx -0.1$، ثم تتزايد إلى $+\infty$.

الجواب $f^{\prime }>0$ على $]-\infty ;0[$ و $]\alpha ;+\infty [$، $f^{\prime }<0$ على $]0;\alpha [$؛ $f(0)=1$ قيمة عظمى محلية و $f(\alpha )\approx -0.1$ قيمة صغرى محلية.

المشتقة واتجاه التغير

1. $f(1)=\frac{1-2+1}{2-2+1}=0$.
2. $1$ جذر للبسط، فنكتب $x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1)$.
3. $f(x)=0$ تكافئ $(x-1)(x^2+x-1)=0$ (المقام لا ينعدم).
4. $x^2+x-1=0$: $\Delta =1+4=5$، و $x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$.
5. الحلول: $x_0=1$ ، $x_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ ، $x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.

الجواب $f(1)=0$؛ الحلول: $x_0=1$ ، $x_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ ، $x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.

المشتقة واتجاه التغير

1. ارسم $(\Delta )$ المار بـ $(-1;0)$ و $(1;1)$.
2. ضع النقط: $(0;1)$، $A\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$، $(1;0)$، $\left(\frac{-1-\sqrt{5}}{2};0\right)\approx (-1.62;0)$، $\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2};0\right)\approx (0.62;0)$.
3. المنحنى فوق $(\Delta )$ قبل $\frac{1}{3}$ وتحته بعدها، ويقترب منه عند $\pm \infty$.

الجواب انظر الرسم: المقارب $(\Delta ):y=\frac{1}{2}(x+1)$، القمة $(0;1)$، القاع عند $\alpha \approx 0.75$، ونقط التقاطع مع محور الفواصل.

المستقيم المقارب المائل والوضع النسبي

1. $f(x)-2=\frac{x^3-2x+1-2(2x^2-2x+1)}{2x^2-2x+1}$.
2. البسط: $x^3-2x+1-4x^2+4x-2=x^3-4x^2+2x-1$.
3. إذن $f(x)-2=h(x)$.

الجواب $f(x)-2=\frac{x^3-2x+1-2(2x^2-2x+1)}{2x^2-2x+1}=h(x)$.

استنتاج منحنى من آخر والمناقشة البيانية

1. $h(x)=f(x)-2$: كل نقطة $(x;f(x))$ من $(C_f)$ تقابلها النقطة $(x;f(x)-2)$ من $(C_h)$.
2. إذن $(C_h)$ صورة $(C_f)$ بالانسحاب الذي شعاعه $\vec{v}(0;-2)$ (أي $-2\vec{j}$).
3. للإنشاء: ننزل كل نقطة من $(C_f)$ بوحدتين نحو الأسفل؛ مقاربه المائل $y=\frac{1}{2}(x+1)-2$.

الجواب $(C_h)$ صورة $(C_f)$ بالانسحاب الذي شعاعه $\vec{v}(0;-2)$.

استنتاج منحنى من آخر والمناقشة البيانية