حل بكالوريا 2014 رياضيات شعبة تسيير واقتصاد — الموضوع الثاني مفصّل خطوة بخطوة

شعبة تسيير واقتصاد · الموضوع الثاني · على 20 · 27 سؤالاً

التمرين الأول 4 ن

عيّن مع التبرير الجواب الصحيح الوحيد من بين الأجوبة الثلاثة المقترحة في كل حالة. I) أعضاء الطاقم الصحي لمؤسسة استشفائية موزعون كما يلي: الذكور:

12

طبيباً و

25

ممرضاً؛ الإناث:

8

طبيبات و

15

ممرضة. اختير عشوائياً عضو من هذا الطاقم. II) قانون احتمال لتجربة عشوائية:

x_{i}

1, 2, 3, 4

باحتمالات

p_{i}

0, 2

0, 4

0, 1

0, 3

I-11 ن

احتمال أن يكون العضو المختار أنثى هو:
- أ $\frac{1}{23}$
- ب $\frac{23}{60}$
- ج $\frac{8}{23}$
الحل
1. عدد الأعضاء: $12 + 25 + 8 + 15 = 60$ ؛ عدد الإناث: $8 + 15 = 23$ .
2. $P (F) = \frac{23}{60}$ .
الجواب $P (F) = \frac{23}{60}$

الاحتمال الشرطي وشجرة الاحتمالات
I-21 ن

احتمال أن يكون العضو المختار أنثى علماً أنّه طبيب هو:
- أ $\frac{2}{5}$
- ب $\frac{2}{15}$
- ج $\frac{8}{23}$
الحل
1. عدد الأطباء: $12 + 8 = 20$ ، منهم $8$ إناث.
2. $P_{M} (F) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ .
الجواب $P_{M} (F) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

انتبه اختيار $\frac{8}{23}$ : هذا احتمال أن تكون طبيبة علماً أنها أنثى، لا العكس.

الاحتمال الشرطي وشجرة الاحتمالات
II-11 ن

تباين قانون الاحتمال هو:
- أ $1, 12$
- ب $2, 5$
- ج $1, 25$
الحل
1. $E = 1 \times 0, 2 + 2 \times 0, 4 + 3 \times 0, 1 + 4 \times 0, 3 = 2, 5$ .
2. $\sum p_{i} x_{i}^{2} = 0, 2 \times 1 + 0, 4 \times 4 + 0, 1 \times 9 + 0, 3 \times 16 = 7, 5$ .
3. $V = 7, 5 - 2, 5^{2} = 7, 5 - 6, 25 = 1, 25$ .
الجواب $E = 2, 5$ و $V = 1, 25$

انتبه اختيار $2, 5$ : هذا هو الأمل الرياضي لا التباين.

قانون الاحتمال: الأمل الرياضي والتباين
II-21 ن

إذا كانت $A$ و $B$ حادثتين مستقلتين حيث $p (A) = 0, 4$ و $p (B) = 0, 3$ فإنّ $p (A \cap B)$ هو:
- أ $0, 12$
- ب $0, 7$
- ج $0, 75$
الحل
1. الاستقلال: $p (A \cap B) = p (A) \times p (B)$ .
2. $p (A \cap B) = 0, 4 \times 0, 3 = 0, 12$ .
الجواب $p (A \cap B) = 0, 12$

انتبه جمع الاحتمالين ( $0, 7$ ): الجمع يخص الاتحاد لحادثتين غير متلائمتين.

الاحتمال الشرطي وشجرة الاحتمالات

التمرين الثاني 4,5 ن

الجدول الآتي يمثل تغير سعر الكيلوغرام الواحد من مادة استهلاكية بين السنوات 2008 و 2012: السنة 2008، 2009، 2010، 2011، 2012؛ رتبة السنة

x_{i}

1, 2, 3, 4, 5

؛ سعر

1 k g

بالدولار

y_{i}

3, 64

3, 76

3, 81

3, 95

4, 39

10,5 ن

احسب النسبة المئوية لتغير سعر الكيلوغرام الواحد من هذه المادة بين سنتي 2008 و 2012 (اكتب العدد مدوراً إلى 0.1 دون الرمز %).
الحل
1. $\frac{4 , 39 - 3 , 64}{3 , 64} \times 100 = \frac{0 , 75}{3 , 64} \times 100 \approx 20, 6 %$ .
الجواب $20, 6 %$

انتبه القسمة على القيمة النهائية $4, 39$ بدل القيمة الابتدائية $3, 64$ .

سلسلة إحصائية بمتغيرين والتعديل الخطي
21,25 ن

مثّل سحابة النقط $M_{i} (x_{i}; y_{i})$ في معلم متعامد.
الحل
1. اختر سلماً مناسباً: على محور التراتيب ابدأ من $3, 5$ مثلاً لأن القيم متقاربة.
2. علّم النقط $(1; 3, 64)$ ، $(2; 3, 76)$ ، $(3; 3, 81)$ ، $(4; 3, 95)$ ، $(5; 4, 39)$ .
الجواب انظر الرسم: خمس نقط، مع مستقيم الانحدار للمقارنة.

سلسلة إحصائية بمتغيرين والتعديل الخطي
30,5 ن

جد إحداثيي $G$ النقطة المتوسطة لسحابة النقط السابقة (اكتب x,y).
الحل
1. $x ˉ = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3$ .
2. $y ˉ = \frac{3 , 64 + 3 , 76 + 3 , 81 + 3 , 95 + 4 , 39}{5} = \frac{19 , 55}{5} = 3, 91$ .
الجواب $G (3; 3, 91)$

سلسلة إحصائية بمتغيرين والتعديل الخطي
41,25 ن

بيّن أنّ المعادلة المختصرة لمستقيم الانحدار بالمربعات الدنيا هي: $y = 0, 17 x + 3, 40$ (النتائج مدورة إلى $1 0^{- 2}$ ).
الحل
1. $\sum x_{i} y_{i} = 3, 64 + 7, 52 + 11, 43 + 15, 80 + 21, 95 = 60, 34$ .
2. $cov (x, y) = \frac{60 , 34}{5} - 3 \times 3, 91 = 12, 068 - 11, 73 = 0, 338$ .
3. $V (x) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25}{5} - 9 = 2$ .
4. $a = \frac{0 , 338}{2} = 0, 169 \approx 0, 17$ .
5. $b = y ˉ - a x ˉ = 3, 91 - 0, 17 \times 3 = 3, 40$ .
الجواب $a = \frac{cov ( x , y )}{V ( x )} \approx 0, 17$ و $b = y ˉ - a x ˉ = 3, 40$ .

سلسلة إحصائية بمتغيرين والتعديل الخطي
5 أ0,5 ن

بفرض أنّ تغير سعر الكيلوغرام يبقى على نفس الوتيرة، قدّر سعر الكيلوغرام من هذه المادة في سنة 2016 (بالدولار).
الحل
1. سنة 2016 رتبتها $x = 9$ .
2. $y = 0, 17 \times 9 + 3, 4 = 4, 93$ .
الجواب $y \approx 4, 93$ دولار

انتبه أخذ $x = 2016$ أو $x = 8$ : الرتبة 1 توافق 2008، فالرتبة 9 توافق 2016.

سلسلة إحصائية بمتغيرين والتعديل الخطي
5 ب0,5 ن

في أية سنة سيصبح سعر الكيلوغرام من هذه المادة $5, 61$ دولاراً؟
الحل
1. $0, 17 x + 3, 4 = 5, 61$ أي $x = \frac{2 , 21}{0 , 17} = 13$ .
2. الرتبة $13$ توافق السنة $2007 + 13 = 2020$ .
الجواب سنة 2020

سلسلة إحصائية بمتغيرين والتعديل الخطي

التمرين الثالث 4,5 ن

(u_{n})

المتتالية العددية المعرفة كما يلي:

u_{0} = 3

ومن أجل كل عدد طبيعي

n

u_{n + 1} = \frac{2}{3} u_{n} - 1

1 أ1 ن

برهن بالتراجع أنّه من أجل كل عدد طبيعي $n$ فإنّ $u_{n} > - 3$ .
الحل
1. التحقق: $u_{0} = 3 > - 3$ .
2. الوراثة: نفرض $u_{n} > - 3$ . إذن $\frac{2}{3} u_{n} > - 2$ ومنه $\frac{2}{3} u_{n} - 1 > - 3$ أي $u_{n + 1} > - 3$ .
3. الخلاصة: من أجل كل $n$ من $N$ : $u_{n} > - 3$ .
الجواب التحقق: $u_{0} = 3 > - 3$ ؛ الوراثة: $u_{n} > - 3 \Rightarrow \frac{2}{3} u_{n} - 1 > - 3$ .

انتبه نسيان مرحلة التحقق، أو استعمال المطلوب في الوراثة بدل الفرضية.

البرهان بالتراجع
1 ب0,5 ن

بيّن أنّ المتتالية $(u_{n})$ متناقصة تماماً.
الحل
1. $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2}{3} u_{n} - 1 - u_{n} = - \frac{1}{3} u_{n} - 1 = - \frac{1}{3} (u_{n} + 3)$ .
2. بما أن $u_{n} + 3 > 0$ فإن $u_{n + 1} - u_{n} < 0$ : $(u_{n})$ متناقصة تماماً.
الجواب $u_{n + 1} - u_{n} = - \frac{1}{3} (u_{n} + 3) < 0$ .

اتجاه تغير متتالية ونهايتها
1 ج0,5 ن

استنتج أنّ المتتالية $(u_{n})$ متقاربة.
الحل
1. كل متتالية متناقصة ومحدودة من الأسفل متقاربة.
2. $(u_{n})$ متناقصة تماماً و $u_{n} > - 3$ ، إذن متقاربة.
الجواب $(u_{n})$ متناقصة تماماً ومحدودة من الأسفل بـ $- 3$ ، إذن هي متقاربة.

اتجاه تغير متتالية ونهايتها
2 أ1 ن

لتكن $(v_{n})$ متتالية هندسية متقاربة أساسها $q$ حيث: $v_{0} = 6$ و $lim_{n \to + \infty} (v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}) = 18$ . بيّن أنّ: $lim_{n \to + \infty} (v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}) = \frac{v _{0}}{1 - q}$ .
الحل
1. $(v_{n})$ متقاربة وحدها الأول غير معدوم، إذن $- 1 < q < 1$ (و $q \neq = 1$ لأن المجموع محدود).
2. $v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n} = v_{0} \times \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .
3. $lim_{n \to + \infty} q^{n + 1} = 0$ ، إذن النهاية $\frac{v _{0}}{1 - q}$ .
الجواب $v_{0} + \dots + v_{n} = v_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ و $lim q^{n + 1} = 0$ .

المتتاليات الهندسية مجموع حدود متتابعة لمتتالية
2 ب0,5 ن

احسب الأساس $q$ ثم عيّن عبارة الحد العام $v_{n}$ بدلالة $n$ (اكتب قيمة $q$ كسراً).
الحل
1. $\frac{6}{1 - q} = 18$ أي $1 - q = \frac{1}{3}$ ، إذن $q = \frac{2}{3}$ .
2. $v_{n} = v_{0} q^{n} = 6 (\frac{2}{3})^{n}$ .
الجواب $q = \frac{2}{3}$ و $v_{n} = 6 (\frac{2}{3})^{n}$

المتتاليات الهندسية
2 ج1 ن

برهن أنّه من أجل كل عدد طبيعي $n$ : $u_{n} = v_{n} - 3$ واستنتج عبارة $u_{n}$ بدلالة $n$ .
الحل
1. $u_{n + 1} + 3 = \frac{2}{3} u_{n} + 2 = \frac{2}{3} (u_{n} + 3)$ .
2. $(u_{n} + 3)$ هندسية أساسها $\frac{2}{3}$ وحدها الأول $u_{0} + 3 = 6 = v_{0}$ .
3. للمتتاليتين نفس الحد الأول ونفس الأساس، إذن $u_{n} + 3 = v_{n}$ أي $u_{n} = v_{n} - 3$ (ويمكن أيضاً البرهان بالتراجع).
4. $u_{n} = 6 (\frac{2}{3})^{n} - 3$ .
الجواب $(u_{n} + 3)$ هندسية أساسها $\frac{2}{3}$ وحدها الأول $6$ ، فهي $(v_{n})$ ؛ $u_{n} = 6 (\frac{2}{3})^{n} - 3$ .

المتتاليات الهندسية البرهان بالتراجع

التمرين الرابع 7 ن

الدالة العددية

f

معرفة على

[0; + \infty [

كما يلي:

f (x) = 6 (1 - 2 x) e^{- x} + 5

، و

(C_{f})

تمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس

(O; i, j)

. (يظهر المجال في النسخة الممسوحة بقوس مفتوح عند

0

، لكن الحل الرسمي يستعمل

f (0) = 11

والمجال

[0; 7]

I-10,5 ن

احسب $lim_{x \to + \infty} f (x)$ ثم فسّر النتيجة هندسياً (يعطى $lim_{x \to + \infty} x e^{- x} = 0$ ).
الحل
1. $f (x) = 6 e^{- x} - 12 x e^{- x} + 5$ .
2. $lim e^{- x} = 0$ و $lim x e^{- x} = 0$ ، إذن $lim_{x \to + \infty} f (x) = 5$ .
3. التفسير: المستقيم ذو المعادلة $y = 5$ مقارب أفقي لـ $(C_{f})$ .
الجواب $lim_{x \to + \infty} f (x) = 5$ : المستقيم $y = 5$ مقارب لـ $(C_{f})$ بجوار $+ \infty$ .

الدالة الأسية
I-21,25 ن

ادرس اتجاه تغير الدالة $f$ ثم شكّل جدول تغيراتها.
الحل
1. $f^{'} (x) = 6 (- 2) e^{- x} + 6 (1 - 2 x) (- e^{- x}) = 6 e^{- x} (- 2 - 1 + 2 x) = 6 (2 x - 3) e^{- x}$ .
2. $6 e^{- x} > 0$ ، فإشارة $f^{'} (x)$ هي إشارة $2 x - 3$ : سالبة على $[0; 1, 5 [$ وموجبة على $] 1, 5; + \infty [$ .
3. $f (0) = 6 + 5 = 11$ و $f (1, 5) = 6 (- 2) e^{- 1, 5} + 5 \approx 2, 32$ .
4. جدول التغيرات: $11 ↘ f (1, 5) ↗ 5$ .
الجواب $f^{'} (x) = 6 (2 x - 3) e^{- x}$ : $f$ متناقصة تماماً على $[0; 1, 5]$ ومتزايدة تماماً على $[1, 5; + \infty [$ ؛ $f (0) = 11$ و $f (1, 5) = 5 - 12 e^{- 1, 5} \approx 2, 32$ .

الدالة الأسية المشتقة واتجاه التغير
I-30,75 ن

أنشئ $(C_{f})$ .
الحل
1. ارسم المقارب $y = 5$ .
2. علّم $(0; 11)$ و $(1, 5; 2, 32)$ و $(0, 5; 5)$ (لأن $f (0, 5) = 5$ ).
3. بعد $x = 0, 5$ يكون $(C_{f})$ تحت المقارب ويقترب منه.
الجواب انظر الرسم: يبدأ من $(0; 11)$ ، ينزل إلى القيمة الصغرى $(1, 5; 2, 32)$ ثم يصعد ويقترب من $y = 5$ .

الدالة الأسية
I-4 أ2 ن

بيّن أنّ المعادلة $f (x) = 3, 5$ تقبل في $[0; 7]$ حلين مختلفين $α$ و $β$ حيث: $0, 7 < α < 0, 8$ و $2, 9 < β < 3$ .
الحل
1. على $[0; 1, 5]$ : $f$ مستمرة ومتناقصة تماماً و $f (1, 5) < 3, 5 < f (0) = 11$ : حل وحيد $α$ .
2. على $[1, 5; 7]$ : $f$ مستمرة ومتزايدة تماماً و $f (1, 5) < 3, 5 < f (7) \approx 4, 92$ : حل وحيد $β$ .
3. $f (0, 7) \approx 3, 81 > 3, 5$ و $f (0, 8) \approx 3, 38 < 3, 5$ ، إذن $0, 7 < α < 0, 8$ .
4. $f (2, 9) \approx 3, 42 < 3, 5$ و $f (3) \approx 3, 506 > 3, 5$ ، إذن $2, 9 < β < 3$ .
الجواب $f$ رتيبة تماماً على كل من $[0; 1, 5]$ و $[1, 5; 7]$ وتمر بـ $3, 5$ في كل منهما؛ $f (0, 7) \approx 3, 8$ ، $f (0, 8) \approx 3, 39$ ، $f (2, 9) \approx 3, 42$ ، $f (3) \approx 3, 5$ .

انتبه $f (3) \approx 3, 506$ قريبة جداً من $3, 5$ : احسب بثلاثة أرقام عشرية على الأقل.

مبرهنة القيم المتوسطة والحل الوحيد
I-4 ب0,25 ن

حل بيانياً في المجال $[0; 7]$ المتراجحة: $f (x) \leq 3, 5$ .
الحل
1. نبحث عن فواصل نقط $(C_{f})$ الواقعة تحت المستقيم $y = 3, 5$ أو عليه.
2. $(C_{f})$ تحت هذا المستقيم بين $α$ و $β$ ، إذن $α \leq x \leq β$ .
الجواب $x \in [α; β]$

مبرهنة القيم المتوسطة والحل الوحيد
I-5 أ0,5 ن

عيّن العددين الحقيقيين $a$ و $b$ بحيث تكون الدالة $g$ المعرفة على $[0; 7]$ بـ: $g (x) = (a x + b) e^{- x}$ دالة أصلية للدالة $h$ المعرفة على $[0; 7]$ بـ: $h (x) = 6 (1 - 2 x) e^{- x}$ (اكتب a,b).
الحل
1. $g^{'} (x) = a e^{- x} - (a x + b) e^{- x} = (- a x + a - b) e^{- x}$ .
2. $g^{'} = h$ يعني $- a x + a - b = - 12 x + 6$ .
3. بالمطابقة: $a = 12$ و $a - b = 6$ أي $b = 6$ .
الجواب $a = 12$ و $b = 6$

الدوال الأصلية والحساب التكاملي الدالة الأسية
I-5 ب0,5 ن

استنتج دالة أصلية للدالة $f$ على $[0; 7]$ .
الحل
1. $f (x) = h (x) + 5$ .
2. دالة أصلية لـ $h$ هي $g$ ، ودالة أصلية لـ $5$ هي $5 x$ .
3. $F (x) = (12 x + 6) e^{- x} + 5 x$ .
الجواب $F (x) = (12 x + 6) e^{- x} + 5 x$

الدوال الأصلية والحساب التكاملي
II-10,5 ن

II) الكلفة الهامشية $C_{M}$ لصناعة كمية $x$ (مقدرة بالطن) من منتوج، حيث $x \in [0; 7]$ ، تنمذج بالدالة $f$ أي: $C_{M} (x) = f (x)$ (الكلفة بملايين الدنانير). حدّد كمية المنتوج بحيث تكون الكلفة الهامشية أقل ما يمكن، وما هي قيمة هذه الكلفة؟ (تدور النتيجة إلى $1 0^{- 2}$ ؛ اكتب الكمية,الكلفة)
الحل
1. من جدول التغيرات: القيمة الصغرى لـ $f$ على $[0; 7]$ عند $x = 1, 5$ .
2. $C_{M} (1, 5) = 5 - 12 e^{- 1, 5} \approx 2, 32$ مليون دينار.
الجواب $x = 1, 5$ طن والكلفة $\approx 2, 32$ مليون دينار

الدالة الأسية المشتقة واتجاه التغير
II-20,25 ن

ما هي كميات المنتوج التي من أجلها لا تتجاوز الكلفة الهامشية $3, 5$ مليون دينار؟
الحل
1. $C_{M} (x) \leq 3, 5$ تكافئ $f (x) \leq 3, 5$ .
2. حسب السؤال I-4 ب: $α \leq x \leq β$ (تقريباً بين $0, 7$ و $3$ أطنان).
الجواب الكميات $x$ حيث $α \leq x \leq β$ .

مبرهنة القيم المتوسطة والحل الوحيد
II-3 أ0,25 ن

نذكّر أنّ دالة الكلفة الإجمالية دالة أصلية لدالة الكلفة الهامشية. بيّن أنّ الكلفة الإجمالية $C_{T}$ معرفة بـ: $C_{T} (x) = (12 x + 6) e^{- x} + 5 x + k$ حيث $k$ عدد حقيقي.
الحل
1. $C_{T}$ دالة أصلية لـ $f$ ، و $F (x) = (12 x + 6) e^{- x} + 5 x$ دالة أصلية لـ $f$ .
2. الدوال الأصلية تختلف بثابت: $C_{T} (x) = (12 x + 6) e^{- x} + 5 x + k$ .
الجواب $C_{T}^{'} = C_{M} = f$ ، والدوال الأصلية لـ $f$ هي $F + k$ .

الدوال الأصلية والحساب التكاملي
II-3 ب0,25 ن

حدّد قيمة $k$ إذا علمت أنّ المصاريف الثابتة 2 مليون دينار (أي $C_{T} (0) = 2$ ).
الحل
1. $C_{T} (0) = 6 e^{0} + 0 + k = 6 + k$ .
2. $6 + k = 2$ إذن $k = - 4$ .
الجواب $k = - 4$

الدوال الأصلية والحساب التكاملي