حل بكالوريا 2014 رياضيات شعبة تسيير واقتصاد — الموضوع الأول مفصّل خطوة بخطوة

شعبة تسيير واقتصاد · الموضوع الأول · على 20 · 25 سؤالاً

التمرين الأول 4 ن

من أجل كل عدد حقيقي

x

نعتبر كثير الحدود

2 x^{3} - 9 x^{2} + 7 x + 6

1 أ0,5 ن

تحقق أنّه من أجل كل عدد حقيقي $x$ فإنّ: $(2 x + 1) (x^{2} - 5 x + 6) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 7 x + 6$ .
الحل
1. $(2 x + 1) (x^{2} - 5 x + 6) = 2 x^{3} - 10 x^{2} + 12 x + x^{2} - 5 x + 6$ .
2. $= 2 x^{3} - 9 x^{2} + 7 x + 6$ .
3. ملاحظة مفيدة للبقية: $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ .
الجواب بالنشر نجد $2 x^{3} - 10 x^{2} + 12 x + x^{2} - 5 x + 6 = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 7 x + 6$ .

معادلات ومتراجحات أسية ولوغاريتمية
1 ب (1)1 ن

حل المعادلة: $2 (ln x)^{3} - 9 (ln x)^{2} + 7 ln x + 6 = 0$ .
الحل
1. المعادلة معرفة من أجل $x > 0$ . نضع $X = ln x$ .
2. تصبح $2 X^{3} - 9 X^{2} + 7 X + 6 = 0$ أي $(2 X + 1) (X^{2} - 5 X + 6) = 0$ .
3. $(2 ln x + 1) (ln x - 2) (ln x - 3) = 0$ .
4. $ln x = - \frac{1}{2}$ أو $ln x = 2$ أو $ln x = 3$ .
5. إذن $x = e^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{e}$ أو $x = e^{2}$ أو $x = e^{3}$ .
الجواب $x = \frac{1}{e}$ أو $x = e^{2}$ أو $x = e^{3}$ .

انتبه نسيان أن $ln x = - \frac{1}{2}$ يعطي حلاً مقبولاً: $ln x$ يأخذ كل القيم الحقيقية، والشرط الوحيد هو $x > 0$ .

معادلات ومتراجحات أسية ولوغاريتمية الدالة اللوغاريتمية النيبيرية
1 ب (2)1 ن

حل في $R$ المعادلة: $6 e^{- 3 x} + 7 e^{- 2 x} - 9 e^{- x} + 2 = 0$ (اكتب الحلين مفصولين بفاصلة، مثل ln2,ln5).
الحل
1. بالضرب في $e^{3 x} > 0$ : $6 + 7 e^{x} - 9 e^{2 x} + 2 e^{3 x} = 0$ أي $2 e^{3 x} - 9 e^{2 x} + 7 e^{x} + 6 = 0$ .
2. نضع $X = e^{x} > 0$ : $(2 X + 1) (X - 2) (X - 3) = 0$ ، أي $(2 e^{x} + 1) (e^{x} - 2) (e^{x} - 3) = 0$ .
3. $2 e^{x} + 1 > 0$ دائماً، فيبقى $e^{x} = 2$ أو $e^{x} = 3$ .
4. إذن $x = ln 2$ أو $x = ln 3$ .
الجواب $x = ln 2$ أو $x = ln 3$

انتبه قبول $e^{x} = - \frac{1}{2}$ : الدالة الأسية موجبة تماماً.

معادلات ومتراجحات أسية ولوغاريتمية
1 ج0,5 ن

حل في $R$ المتراجحة: $2 e^{3 x} - 9 e^{2 x} + 7 e^{x} + 6 \leq 0$ (اكتب المجال على الشكل [a;b]).
الحل
1. المتراجحة تكافئ $(2 e^{x} + 1) (e^{x} - 2) (e^{x} - 3) \leq 0$ .
2. $2 e^{x} + 1 > 0$ ، فالإشارة هي إشارة $(e^{x} - 2) (e^{x} - 3)$ .
3. هذا الجداء سالب أو معدوم لما $2 \leq e^{x} \leq 3$ ، أي $ln 2 \leq x \leq ln 3$ .
الجواب $x \in [ln 2; ln 3]$

معادلات ومتراجحات أسية ولوغاريتمية
21 ن

حل المعادلة: $lo g (x^{2} + 100) = 1 + lo g 2 + lo g x$ ( $lo g$ هو اللوغاريتم العشري؛ اكتب الحل).
الحل
1. المعادلة معرفة لما $x > 0$ ، أي على $] 0; + \infty [$ .
2. $1 + lo g 2 + lo g x = lo g 10 + lo g 2 + lo g x = lo g (20 x)$ .
3. المعادلة تكافئ $x^{2} + 100 = 20 x$ أي $x^{2} - 20 x + 100 = 0$ .
4. $(x - 10)^{2} = 0$ إذن $x = 10$ ، وهو ينتمي إلى $] 0; + \infty [$ .
الجواب $x = 10$

معادلات ومتراجحات أسية ولوغاريتمية الدالة اللوغاريتمية النيبيرية

التمرين الثاني 5 ن

أجب بصحيح أو خطأ مع التبرير في كل حالة. 1)

(u_{n})

متتالية عددية معرفة على

N

حدودها موجبة تماماً، و

(v_{n})

المتتالية المعرفة على

N

بـ:

v_{n} = ln u_{n}

. 2) الجدول الآتي يمثل سلسلة إحصائية:

x_{i}

1, 2, 3, 4, 5

y_{i}

8, 9, 12, 12, 13

1 أ1 ن

إذا كانت $(u_{n})$ متقاربة فإنّ $(v_{n})$ متقاربة.
- ص صحيح
- خ خطأ
الحل
1. نأخذ $u_{n} = (\frac{1}{2})^{n} > 0$ : $lim u_{n} = 0$ فهي متقاربة.
2. $v_{n} = ln u_{n} = - n ln 2$ و $lim v_{n} = - \infty$ : $(v_{n})$ متباعدة.
3. إذن العبارة خاطئة.
الجواب خطأ. مثال مضاد: $u_{n} = (\frac{1}{2})^{n}$ .

انتبه محاولة البرهان بمثال واحد يحقق العبارة: لإثبات الخطأ يكفي مثال مضاد، ولإثبات الصحة يلزم برهان عام.

اتجاه تغير متتالية ونهايتها الدالة اللوغاريتمية النيبيرية
1 ب1 ن

إذا كانت $(u_{n})$ متناقصة فإنّ $(v_{n})$ متناقصة.
- ص صحيح
- خ خطأ
الحل
1. الدالة $ln$ متزايدة تماماً على $] 0; + \infty [$ .
2. $u_{n + 1} < u_{n}$ تكافئ $ln u_{n + 1} < ln u_{n}$ أي $v_{n + 1} < v_{n}$ .
الجواب صحيح: $u_{n + 1} < u_{n}$ تكافئ $ln u_{n + 1} < ln u_{n}$ .

اتجاه تغير متتالية ونهايتها الدالة اللوغاريتمية النيبيرية
1 ج1 ن

إذا كانت $(u_{n})$ هندسية فإنّ $(v_{n})$ حسابية.
- ص صحيح
- خ خطأ
الحل
1. $u_{n + 1} = q u_{n}$ مع $q > 0$ (الحدود موجبة).
2. $ln u_{n + 1} = ln q + ln u_{n}$ أي $v_{n + 1} = v_{n} + ln q$ .
الجواب صحيح: $v_{n + 1} = v_{n} + ln q$ ، فـ $(v_{n})$ حسابية أساسها $ln q$ .

المتتاليات الهندسية المتتاليات الحسابية
2 أ1 ن

إحداثيات النقطة المتوسطة لسحابة النقط $M_{i} (x_{i}; y_{i})$ هي $(3; 10, 8)$ .
- ص صحيح
- خ خطأ
الحل
1. $x ˉ = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3$ .
2. $y ˉ = \frac{8 + 9 + 12 + 12 + 13}{5} = \frac{54}{5} = 10, 8$ .
الجواب صحيح: $x ˉ = 3$ و $y ˉ = 10, 8$ .

سلسلة إحصائية بمتغيرين والتعديل الخطي
2 ب1 ن

معامل توجيه مستقيم الانحدار بالمربعات الدنيا لسحابة النقط هو $3, 1$ .
- ص صحيح
- خ خطأ
الحل
1. $\frac{1}{5} \sum x_{i} y_{i} = \frac{8 + 18 + 36 + 48 + 65}{5} = 35$ ، إذن $cov (x, y) = 35 - 3 \times 10, 8 = 2, 6$ .
2. $V (x) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25}{5} - 3^{2} = 11 - 9 = 2$ .
3. $a = \frac{2 , 6}{2} = 1, 3 \neq = 3, 1$ .
الجواب خطأ: $a = 1, 3$ .

سلسلة إحصائية بمتغيرين والتعديل الخطي

التمرين الثالث 4 ن

ثلاثة أكياس متماثلة

U_{1}

U_{2}

U_{3}

كل منها يحوي 6 كريات متماثلة. الكيس

U_{1}

يحوي كريتين بيضاوين وأربع كريات حمراء، الكيس

U_{2}

يحوي ثلاث كريات بيضاء وثلاث كريات حمراء، والكيس

U_{3}

يحوي خمس كريات بيضاء وكرية حمراء. نختار عشوائياً كيساً ثم نسحب منه دون اختيار كرية واحدة.

11 ن

شكّل شجرة الاحتمالات المتوازنة التي تنمذج هذه الوضعية.
الحل
1. المستوى الأول: اختيار الكيس، $P (U_{1}) = P (U_{2}) = P (U_{3}) = \frac{1}{3}$ .
2. من $U_{1}$ : $P_{U_{1}} (B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ و $P_{U_{1}} (R) = \frac{2}{3}$ .
3. من $U_{2}$ : $P_{U_{2}} (B) = P_{U_{2}} (R) = \frac{1}{2}$ .
4. من $U_{3}$ : $P_{U_{3}} (B) = \frac{5}{6}$ و $P_{U_{3}} (R) = \frac{1}{6}$ .
5. تحقق: مجموع الفروع الخارجة من كل عقدة يساوي 1.
الجواب ثلاثة فروع أولى باحتمال $\frac{1}{3}$ لكل كيس، ثم من كل كيس فرعان: $U_{1}$ : $B$ ( $\frac{2}{6}$ )، $R$ ( $\frac{4}{6}$ )؛ $U_{2}$ : $\frac{3}{6}$ و $\frac{3}{6}$ ؛ $U_{3}$ : $B$ ( $\frac{5}{6}$ )، $R$ ( $\frac{1}{6}$ ).

الاحتمال الشرطي وشجرة الاحتمالات
21 ن

ما احتمال سحب كرية بيضاء من الكيس $U_{3}$ ؟ (اكتب كسراً مختزلاً مثل a/b)
الحل
1. $P (U_{3} \cap B) = P (U_{3}) \times P_{U_{3}} (B) = \frac{1}{3} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{18}$ .
الجواب $P (U_{3} \cap B) = \frac{5}{18}$

انتبه الإجابة بـ $\frac{5}{6}$ : هذا احتمال البيضاء علماً أن الكيس $U_{3}$ ، لا احتمال الحدثين معاً.

الاحتمال الشرطي وشجرة الاحتمالات
31 ن

ما احتمال سحب كرية بيضاء؟ (اكتب كسراً مختزلاً)
الحل
1. دستور الاحتمالات الكلية: $P (B) = P (U_{1} \cap B) + P (U_{2} \cap B) + P (U_{3} \cap B)$ .
2. $P (B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{6} = \frac{2 + 3 + 5}{18} = \frac{5}{9}$ .
الجواب $P (B) = \frac{5}{9}$

الاحتمال الشرطي وشجرة الاحتمالات
41 ن

علماً أنّ الكرية المسحوبة بيضاء، ما احتمال أن تكون من الكيس $U_{3}$ ؟ (اكتب كسراً مختزلاً)
الحل
1. $P_{B} (U_{3}) = \frac{P ( U _{3} \cap B )}{P ( B )} = \frac{5/18}{5/9} = \frac{1}{2}$ .
الجواب $P_{B} (U_{3}) = \frac{1}{2}$

انتبه الخلط بين $P_{B} (U_{3})$ و $P_{U_{3}} (B)$ .

الاحتمال الشرطي وشجرة الاحتمالات

التمرين الرابع 7 ن

g

الدالة العددية المعرفة على

] 0; + \infty [

كما يلي:

g (x) = 1 - x^{2} - ln x

. II)

f

الدالة العددية المعرفة على

] 0; + \infty [

كما يلي:

f (x) = x - 1 - \frac{ln x}{x}

، و

(C_{f})

تمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى المعلم المتعامد والمتجانس

(O; i, j)

I-10,75 ن

ادرس اتجاه تغير الدالة $g$ .
الحل
1. $g^{'} (x) = - 2 x - \frac{1}{x}$ .
2. من أجل $x > 0$ : $- 2 x < 0$ و $- \frac{1}{x} < 0$ إذن $g^{'} (x) < 0$ .
3. $g$ متناقصة تماماً على $] 0; + \infty [$ .
الجواب $g^{'} (x) = - 2 x - \frac{1}{x} < 0$ : $g$ متناقصة تماماً على $] 0; + \infty [$ .

المشتقة واتجاه التغير الدالة اللوغاريتمية النيبيرية
I-20,5 ن

احسب $g (1)$ ثم استنتج تبعاً لقيم $x$ إشارة $g (x)$ .
الحل
1. $g (1) = 1 - 1 - ln 1 = 0$ .
2. $g$ متناقصة تماماً: لما $0 < x < 1$ يكون $g (x) > g (1) = 0$ .
3. لما $x > 1$ يكون $g (x) < g (1) = 0$ .
الجواب $g (1) = 0$ ؛ $g (x) > 0$ على $] 0; 1 [$ و $g (x) < 0$ على $] 1; + \infty [$ .

المشتقة واتجاه التغير
II-1 أ0,25 ن

احسب $lim_{x \to + \infty} f (x)$ (يعطى $lim_{x \to + \infty} \frac{ln x}{x} = 0$ ). اكتب +inf أو -inf أو عدداً.
الحل
1. $lim_{x \to + \infty} (x - 1) = + \infty$ و $lim_{x \to + \infty} \frac{ln x}{x} = 0$ .
2. إذن $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ .
الجواب $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$

الدالة اللوغاريتمية النيبيرية
II-1 ب0,5 ن

احسب $lim_{x \to 0^{+}} f (x)$ ثم فسّر النتيجة هندسياً.
الحل
1. عند $0^{+}$ : $ln x \to - \infty$ و $\frac{1}{x} \to + \infty$ ، فـ $- \frac{ln x}{x} \to + \infty$ .
2. و $x - 1 \to - 1$ ، إذن $lim_{x \to 0^{+}} f (x) = + \infty$ .
3. التفسير: المستقيم ذو المعادلة $x = 0$ مستقيم مقارب عمودي لـ $(C_{f})$ .
الجواب $lim_{x \to 0^{+}} f (x) = + \infty$ : المستقيم $x = 0$ مقارب لـ $(C_{f})$ .

الدالة اللوغاريتمية النيبيرية المستقيم المقارب المائل والوضع النسبي
II-2 أ1 ن

بيّن أنّه من أجل كل $x$ من $] 0; + \infty [$ فإنّ: $f^{'} (x) = \frac{- g ( x )}{x ^{2}}$ ثم استنتج اتجاه تغير الدالة $f$ .
الحل
1. $(\frac{ln x}{x})^{'} = \frac{\frac{1}{x} \times x - ln x}{x ^{2}} = \frac{1 - ln x}{x ^{2}}$ .
2. $f^{'} (x) = 1 - \frac{1 - ln x}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} - 1 + ln x}{x ^{2}} = \frac{- ( 1 - x ^{2} - ln x )}{x ^{2}} = \frac{- g ( x )}{x ^{2}}$ .
3. إشارة $f^{'} (x)$ عكس إشارة $g (x)$ : $f^{'} (x) < 0$ على $] 0; 1 [$ و $f^{'} (x) > 0$ على $] 1; + \infty [$ .
4. $f$ متناقصة تماماً على $] 0; 1]$ ومتزايدة تماماً على $[1; + \infty [$ .
الجواب $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 1 + ln x}{x ^{2}} = \frac{- g ( x )}{x ^{2}}$ : $f$ متناقصة تماماً على $] 0; 1]$ ومتزايدة تماماً على $[1; + \infty [$ .

المشتقة واتجاه التغير
II-2 ب0,25 ن

شكّل جدول تغيرات الدالة $f$ .
الحل
1. $f (1) = 1 - 1 - 0 = 0$ (قيمة حدية صغرى).
2. $x$ : $0$ ثم $1$ ثم $+ \infty$ ؛ $f^{'} (x)$ : $-$ ثم $0$ ثم $+$ ؛ $f (x)$ : $+ \infty ↘ 0 ↗ + \infty$ .
الجواب $f$ تنزل من $+ \infty$ إلى $f (1) = 0$ ثم تصعد إلى $+ \infty$ .

المشتقة واتجاه التغير
II-3 أ0,25 ن

بيّن أنّ المستقيم $(D)$ الذي معادلته $y = x - 1$ مقارب مائل للمنحنى $(C_{f})$ .
الحل
1. $f (x) - (x - 1) = - \frac{ln x}{x}$ .
2. $lim_{x \to + \infty} - \frac{ln x}{x} = 0$ ، إذن $(D)$ مقارب مائل لـ $(C_{f})$ بجوار $+ \infty$ .
الجواب $lim_{x \to + \infty} (f (x) - (x - 1)) = lim_{x \to + \infty} (- \frac{ln x}{x}) = 0$ .

المستقيم المقارب المائل والوضع النسبي
II-3 ب0,75 ن

ادرس وضعية $(C_{f})$ بالنسبة إلى $(D)$ .
الحل
1. $f (x) - (x - 1) = - \frac{ln x}{x}$ ، وإشارتها عكس إشارة $ln x$ لأن $x > 0$ .
2. على $] 0; 1 [$ : $ln x < 0$ فالفرق موجب: $(C_{f})$ أعلى $(D)$ .
3. على $] 1; + \infty [$ : $ln x > 0$ فالفرق سالب: $(C_{f})$ أسفل $(D)$ .
4. عند $x = 1$ : $(C_{f})$ و $(D)$ يتقاطعان في $(1; 0)$ .
الجواب $(C_{f})$ أعلى $(D)$ على $] 0; 1 [$ ، أسفل $(D)$ على $] 1; + \infty [$ ، ويقطعه في النقطة $(1; 0)$ .

المستقيم المقارب المائل والوضع النسبي
II-41 ن

عيّن فاصلة النقطة $A$ من $(C_{f})$ التي يكون فيها المماس $(T)$ موازياً للمستقيم $(D)$ ثم اكتب معادلة المماس $(T)$ (اكتب y=... واستعمل e).
الحل
1. $(T) ∥ (D)$ يعني $f^{'} (x) = 1$ أي $\frac{x ^{2} - 1 + ln x}{x ^{2}} = 1$ .
2. $x^{2} - 1 + ln x = x^{2}$ أي $ln x = 1$ ، إذن $x = e$ .
3. $f (e) = e - 1 - \frac{1}{e}$ .
4. $(T) : y = 1 \times (x - e) + e - 1 - \frac{1}{e} = x - 1 - \frac{1}{e}$ .
الجواب $x_{A} = e$ و $(T) : y = x - 1 - \frac{1}{e}$

معادلة المماس
II-51 ن

ارسم $(D)$ ، $(T)$ و $(C_{f})$ .
الحل
1. ارسم $(D) : y = x - 1$ و $(T) : y = x - 1 - \frac{1}{e} \approx x - 1, 37$ .
2. ضع $(1; 0)$ و $A (e; 1, 35)$ .
3. المنحنى ينزل من $+ \infty$ بجوار $0$ فوق $(D)$ ، يمس محور الفواصل في $(1; 0)$ ، ثم يبقى أسفل $(D)$ ويقترب منه.
الجواب انظر الرسم: المقارب $x = 0$ ، المقارب المائل $y = x - 1$ ، القيمة الصغرى $(1; 0)$ ، والمماس $y = x - 1 - \frac{1}{e}$ عند $A (e; e - 1 - \frac{1}{e})$ .

المستقيم المقارب المائل والوضع النسبي معادلة المماس
II-60,75 ن

احسب القيمة المتوسطة للدالة $f$ على المجال $[1; 3]$ (اكتب العبارة بدلالة ln3، مثل 1-(ln3)^2/4).
الحل
1. $μ = \frac{1}{3 - 1} \int_{1}^{3} f (x) d x$ .
2. دالة أصلية لـ $f$ : $F (x) = \frac{x ^{2}}{2} - x - \frac{1}{2} (ln x)^{2}$ .
3. $F (3) = \frac{9}{2} - 3 - \frac{1}{2} (ln 3)^{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} (ln 3)^{2}$ و $F (1) = \frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}$ .
4. $μ = \frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} (ln 3)^{2}) = 1 - \frac{1}{4} (ln 3)^{2} \approx 0, 70$ .
الجواب $μ = 1 - \frac{1}{4} (ln 3)^{2}$

انتبه نسيان القسمة على طول المجال $3 - 1 = 2$ .

الدوال الأصلية والحساب التكاملي