حل شهادة التعليم المتوسط 2012 رياضيات مفصّل خطوة بخطوة

على 20 · 21 سؤالاً

الجزء الأول — التمرين الأول 3 ن

ليكن العددان الحقيقيان

m

n

حيث:

m = 112 - 328 + 37 - 25

n = (7 + 3) (4 - 7)

1 (m)1,5 ن

اكتب العدد $m$ على الشكل $a 7 + b$ حيث $a$ و $b$ عددان نسبيان. اكتب $a$ ثم $b$ مفصولين بفاصلة.
الحل
1. $112 = 16 \times 7 = 47$ .
2. $328 = 3 4 \times 7 = 3 \times 27 = 67$ .
3. $25 = 5$ .
4. $m = 47 - 67 + 37 - 5 = 7 - 5$ .
الجواب $m = 7 - 5$ أي $a = 1$ و $b = - 5$ .

انتبه كتابة $328 = 3 \times 47$ : جذر $4$ هو $2$ وليس $4$ .

الحساب على الجذور التربيعية
1 (n)0,5 ن

اكتب العدد $n$ على الشكل $a 7 + b$ . اكتب $a$ ثم $b$ مفصولين بفاصلة.
الحل
1. $n = 7 \times 4 - 7 \times 7 + 3 \times 4 - 37$ .
2. $n = 47 - 7 + 12 - 37$ .
3. $n = 7 + 5$ .
الجواب $n = 7 + 5$

الحساب على الجذور التربيعية النشر والتبسيط والتحليل
20,5 ن

بيّن أن الجداء $m \times n$ عدد ناطق. اكتب قيمة $m \times n$ .
الحل
1. $m \times n = (7 - 5) (7 + 5)$ .
2. $= (7)^{2} - 5^{2} = 7 - 25$ .
3. $= - 18$ ، وهو عدد ناطق.
الجواب $m \times n = - 18$ عدد ناطق.

انتبه كتابة $(7)^{2} = 49$ : مربع جذر $7$ هو $7$ .

الحساب على الجذور التربيعية
30,5 ن

اجعل مقام النسبة $\frac{7 - 5}{7}$ عدداً ناطقاً.
الحل
1. $\frac{7 - 5}{7} = \frac{( 7 - 5 ) 7}{7 \times 7}$ .
2. البسط: $7 \times 7 - 57 = 7 - 57$ ، والمقام: $7$ .
3. النتيجة: $\frac{7 - 5 7}{7}$ .
الجواب $\frac{7 - 5}{7} = \frac{7 - 5 7}{7}$

انتبه ضرب المقام وحده في $7$ : يجب ضرب البسط أيضاً حتى لا تتغير قيمة النسبة.

الحساب على الجذور التربيعية

الجزء الأول — التمرين الثاني 3 ن

لتكن العبارة

E

حيث:

E = (4 x - 1)^{2} - (3 x + 2) (4 x - 1)

11 ن

انشر وبسّط العبارة $E$ . اكتب النتيجة مرتبة حسب قوى $x$ المتناقصة (مثل 2x^2-5x+1).
الحل
1. $(4 x - 1)^{2} = 16 x^{2} - 8 x + 1$ .
2. $(3 x + 2) (4 x - 1) = 12 x^{2} - 3 x + 8 x - 2 = 12 x^{2} + 5 x - 2$ .
3. $E = 16 x^{2} - 8 x + 1 - 12 x^{2} - 5 x + 2$ .
4. $E = 4 x^{2} - 13 x + 3$ .
الجواب $E = 4 x^{2} - 13 x + 3$

انتبه نسيان تغيير إشارات القوس الثاني: $- (12 x^{2} + 5 x - 2) = - 12 x^{2} - 5 x + 2$ .

النشر والتبسيط والتحليل
21 ن

حلّل العبارة $E$ إلى جداء عاملين. اكتب الجداء بالشكل (ax+b)(cx+d).
الحل
1. $E = (4 x - 1) (4 x - 1) - (3 x + 2) (4 x - 1)$ .
2. $E = (4 x - 1) [(4 x - 1) - (3 x + 2)]$ .
3. $E = (4 x - 1) (4 x - 1 - 3 x - 2)$ .
4. $E = (4 x - 1) (x - 3)$ .
الجواب $E = (4 x - 1) (x - 3)$

انتبه كتابة $(4 x - 1) - (3 x + 2) = x + 1$ بنسيان توزيع الناقص على $+ 2$ .

النشر والتبسيط والتحليل
30,5 ن

حلّ المعادلة $(4 x - 1) (x - 3) = 0$ . اكتب الحلين مفصولين بفاصلة (الكسر بالشكل 1/4).
الحل
1. $(4 x - 1) (x - 3) = 0$ معناه $4 x - 1 = 0$ أو $x - 3 = 0$ .
2. ومنه $x = \frac{1}{4}$ أو $x = 3$ .
الجواب $x = \frac{1}{4}$ أو $x = 3$

انتبه حل $4 x - 1 = 0$ بكتابة $x = 4$ أو $x = - \frac{1}{4}$ .

معادلة جداء معدوم والمتراجحات من الدرجة الأولى
40,5 ن

حلّ المتراجحة $4 x^{2} - 13 x + 3 \leq 4 x^{2} + 29$ . اكتب الحلول بالشكل x>=a.
الحل
1. بحذف $4 x^{2}$ من الطرفين: $- 13 x + 3 \leq 29$ .
2. $- 13 x \leq 26$ .
3. نقسم على $- 13$ (سالب) فينقلب الاتجاه: $x \geq - 2$ .
الجواب $x \geq - 2$

انتبه الإجابة $x \leq - 2$ بنسيان قلب اتجاه المتراجحة.

معادلة جداء معدوم والمتراجحات من الدرجة الأولى

الجزء الأول — التمرين الثالث 3 ن

(T)

دائرة مركزها

O

وقطرها

A B = 8 cm

C

نقطة من الدائرة حيث

B C = 3 cm

F

هي صورة

B

بالانسحاب الذي شعاعه

O B

، المستقيم الذي يشمل

F

ويوازي

(B C)

يقطع

(A C)

في

D

. ملاحظة: يُطلب إنجاز الشكل الهندسي.

الشكل0,5 ن

أنجز الشكل الهندسي.
الحل
1. ارسم $[A B]$ طوله $8$ cm وعيّن منتصفه $O$ ، ثم الدائرة التي مركزها $O$ ونصف قطرها $4$ cm.
2. بالمدور: مركزه $B$ وفتحته $3$ cm، عيّن $C$ على الدائرة.
3. $B F = O B$ : $F$ على امتداد $[A B]$ من جهة $B$ مع $B F = O B = 4$ cm، إذن $A F = 12$ cm.
4. ارسم المستقيم المار بـ $F$ الموازي لـ $(B C)$ ؛ يقطع $(A C)$ في $D$ .
الجواب دائرة قطرها $[A B]$ ( $8$ cm)، $C$ على الدائرة مع $B C = 3$ cm، $F$ على امتداد $[A B]$ بعد $B$ مع $B F = 4$ cm، و $D$ على $(A C)$ مع $(F D) ∥ (B C)$ .

الأشعة والانسحاب ومتوازي الأضلاع
11,25 ن

احسب بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة قيس الزاوية $B A C$ . اكتب العدد فقط.
الحل
1. المثلث $A B C$ محاط بالدائرة التي قطرها $[A B]$ ، إذن هو قائم في $C$ .
2. $sin B A C = \frac{B C}{A B} = \frac{3}{8} = 0, 375$ .
3. بالآلة الحاسبة: $B A C \approx 22, 0 2^{\circ}$ ، أي $2 2^{\circ}$ بالتدوير إلى الوحدة.
الجواب $B A C \approx 2 2^{\circ}$

انتبه استعمال $cos$ بدل $sin$ : $B C$ هو الضلع المقابل للزاوية $B A C$ وليس المجاور.

النسب المثلثية في المثلث القائم الزاوية المركزية والزاوية المحيطية
1 (تابع)0,5 ن

استنتج قيس الزاوية $B O C$ (بالدرجة). اكتب العدد فقط.
الحل
1. $B O C$ زاوية مركزية و $B A C$ زاوية محيطية تحصران نفس القوس $B C ⌢$ .
2. إذن $B O C = 2 B A C = 2 \times 2 2^{\circ} = 4 4^{\circ}$ .
الجواب $B O C = 4 4^{\circ}$

انتبه كتابة $B O C = \frac{2 2 ^{\circ}}{2}$ : الزاوية المركزية ضعف المحيطية، لا نصفها.

الزاوية المركزية والزاوية المحيطية
20,75 ن

احسب $D F$ (بالسنتيمتر). اكتب العدد فقط.
الحل
1. $F$ صورة $B$ بالانسحاب الذي شعاعه $O B$ ، إذن $B F = O B = 4$ cm و $A F = A B + B F = 12$ cm.
2. في المثلث $A D F$ : $B \in [A F]$ ، $C \in [A D]$ و $(B C) ∥ (D F)$ .
3. حسب خاصية طالس: $\frac{A B}{A F} = \frac{B C}{F D}$ ، أي $\frac{8}{12} = \frac{3}{D F}$ .
4. $D F = \frac{12 \times 3}{8} = 4, 5$ cm.
الجواب $D F = 4, 5 cm$

انتبه أخذ $A F = 8 + 8$ أو $A F = 4$ : الانسحاب يزيح $B$ بمسافة $O B = 4$ cm فقط.

خاصية طالس الأشعة والانسحاب ومتوازي الأضلاع

الجزء الأول — التمرين الرابع 3 ن

(O; i, j)

معلم متعامد ومتجانس للمستوي.

10,75 ن

علّم النقط $A (2; - 1)$ ، $B (- 2; 3)$ ، $C (- 4; - 3)$ .
الحل
1. $A (2; - 1)$ : نتحرك $2$ نحو اليمين ثم $1$ نحو الأسفل.
2. $B (- 2; 3)$ : $2$ نحو اليسار ثم $3$ نحو الأعلى.
3. $C (- 4; - 3)$ : $4$ نحو اليسار ثم $3$ نحو الأسفل.
الجواب $A$ في الربع الرابع، $B$ في الربع الثاني، $C$ في الربع الثالث.

انتبه قلب الفاصلة والترتيبة: الفاصلة أولاً على المحور الأفقي.

المعالم: إحداثيات شعاع والمسافة بين نقطتين
20,75 ن

احسب الطول $A C$ واستنتج نوع المثلث $A B C$ علماً أن $B C = 210$ .
الحل
1. $A C = (- 4 - 2)^{2} + (- 3 + 1)^{2}$ .
2. $A C = 36 + 4 = 40 = 210$ .
3. $A C = B C = 210$ ، إذن المثلث $A B C$ متساوي الساقين قاعدته $[A B]$ .
الجواب $A C = 210 = B C$ : المثلث $A B C$ متساوي الساقين رأسه $C$ (قاعدته $[A B]$ ).

انتبه $(- 3 + 1)^{2} = 4$ وليس $- 4$ .

المعالم: إحداثيات شعاع والمسافة بين نقطتين
31 ن

احسب إحداثيي النقطة $D$ حتى يكون $C A = B D$ . اكتب الجواب بالشكل (x;y).
الحل
1. $C A (2 + 4; - 1 + 3)$ أي $C A (6; 2)$ .
2. $B D (x + 2; y - 3)$ .
3. $C A = B D$ معناه $x + 2 = 6$ و $y - 3 = 2$ .
4. ومنه $x = 4$ و $y = 5$ ، أي $D (4; 5)$ .
الجواب $D (4; 5)$

انتبه حساب $A C$ بدل $C A$ فنحصل على $D (- 8; 1)$ .

المعالم: إحداثيات شعاع والمسافة بين نقطتين الأشعة والانسحاب ومتوازي الأضلاع
40,5 ن

بيّن أن $(A B) ⊥ (C D)$ .
الحل
1. في الرباعي $C A D B$ : $C A = B D$ إذن هو متوازي أضلاع.
2. وبما أن $A C = B C$ (ضلعان متتاليان متقايسان) فهو معين.
3. قطرا المعين متعامدان، ومنه $(A B) ⊥ (C D)$ .
الجواب $C A D B$ معين، وقطراه $[A B]$ و $[C D]$ متعامدان.

الأشعة والانسحاب ومتوازي الأضلاع

الجزء الثاني — المسألة 8 ن

يقترح مدير صحيفة يومية على زبائنه صيغتين لاقتناء الجريدة: الصيغة الأولى: ثمن الجريدة

10

DA. الصيغة الثانية: ثمن الجريدة

8

DA مع اشتراك سنوي قدره

500

DA.

12 ن

انقل وأتمم الجدول: عدد الجرائد المشتراة: $50$ ، … ، … ؛ مبلغ الصيغة الأولى بـ DA: … ، $1000$ ، … ؛ مبلغ الصيغة الثانية بـ DA: … ، … ، $3300$ .
الحل
1. العمود الأول ( $50$ جريدة): الأولى $10 \times 50 = 500$ ؛ الثانية $8 \times 50 + 500 = 900$ .
2. العمود الثاني: $10 x = 1000$ إذن $x = 100$ ؛ الثانية $8 \times 100 + 500 = 1300$ .
3. العمود الثالث: $8 x + 500 = 3300$ إذن $8 x = 2800$ و $x = 350$ ؛ الأولى $10 \times 350 = 3500$ .
الجواب الأعمدة: $(50; 500; 900)$ ، $(100; 1000; 1300)$ ، $(350; 3500; 3300)$ .

انتبه نسيان الاشتراك $500$ DA في الصيغة الثانية.

الدالة الخطية والدالة التآلفية
21,5 ن

ليكن $x$ عدد الجرائد المشتراة، $f (x)$ الثمن المدفوع بالصيغة الأولى و $g (x)$ الثمن المدفوع بالصيغة الثانية. عبّر عن $f (x)$ و $g (x)$ بدلالة $x$ . اكتب $f (x)$ ثم $g (x)$ مفصولين بفاصلة (مثل 3x,2x+7).
الحل
1. الصيغة الأولى: $10$ DA لكل جريدة، إذن $f (x) = 10 x$ (دالة خطية).
2. الصيغة الثانية: $8$ DA لكل جريدة مع $500$ DA ثابتة، إذن $g (x) = 8 x + 500$ (دالة تآلفية).
الجواب $f (x) = 10 x$ و $g (x) = 8 x + 500$

الدالة الخطية والدالة التآلفية
31,5 ن

مثّل بيانياً الدالتين $f$ و $g$ في معلم متعامد ومتجانس $(O; i, j)$ حيث $2$ cm على محور الفواصل تمثل $50$ جريدة و $2$ cm على محور التراتيب تمثل $500$ DA.
الحل
1. نقاط $(d_{f})$ : $(0; 0)$ و $(100; 1000)$ و $(350; 3500)$ .
2. نقاط $(d_{g})$ : $(0; 500)$ و $(50; 900)$ و $(350; 3300)$ .
3. بالتدريج المطلوب: كل مربع في الرسم أدناه ( $2$ cm) يمثل $50$ جريدة أفقياً و $500$ DA عمودياً. $(d_{f})$ هو الخط المتصل و $(d_{g})$ الخط المتقطع.
4. المستقيمان يتقاطعان في النقطة $(250; 2500)$ : عند $250$ جريدة تتساوى الصيغتان.
الجواب $(d_{f})$ مستقيم يمر بـ $O$ و $(100; 1000)$ ؛ $(d_{g})$ مستقيم يمر بـ $(0; 500)$ و $(100; 1300)$ ؛ يتقاطعان في $(250; 2500)$ .

انتبه عدم احترام التدريج المختلف على المحورين.

الدالة الخطية والدالة التآلفية
41 ن

حلّ المعادلة $f (x) = g (x)$ وماذا يمثّل الحل؟ اكتب قيمة $x$ .
الحل
1. $10 x = 8 x + 500$ .
2. $2 x = 500$ .
3. $x = \frac{500}{2} = 250$ .
4. يمثل الحل فاصلة نقطة تقاطع المستقيمين: عدد الجرائد المشتراة الذي يكون عنده المبلغ نفسه بالصيغتين.
الجواب $x = 250$ : فاصلة نقطة تقاطع المستقيمين، أي عدد الجرائد الذي تتساوى عنده الصيغتان ( $2500$ DA).

الدالة الخطية والدالة التآلفية معادلة جداء معدوم والمتراجحات من الدرجة الأولى
52 ن

ما هي الصيغة الأفضل في الحالتين التاليتين: عند اقتناء $150$ جريدة؛ عند اقتناء $270$ جريدة؟
الحل
1. $f (150) = 10 \times 150 = 1500$ و $g (150) = 8 \times 150 + 500 = 1700$ .
2. $1500 < 1700$ ، إذن الصيغة الأولى هي الأفضل لاقتناء $150$ جريدة.
3. $f (270) = 10 \times 270 = 2700$ و $g (270) = 8 \times 270 + 500 = 2660$ .
4. $2660 < 2700$ ، إذن الصيغة الثانية هي الأفضل لاقتناء $270$ جريدة.
5. ملاحظة من الإجابة النموذجية: يمكن استعمال التمثيل البياني؛ قبل $250$ مستقيم $f$ أسفل، وبعدها مستقيم $g$ أسفل.
الجواب 150 جريدة: الصيغة الأولى أفضل (1500 DA مقابل 1700 DA). 270 جريدة: الصيغة الثانية أفضل (2660 DA مقابل 2700 DA).

انتبه اختيار الصيغة ذات المبلغ الأكبر: الأفضل للزبون هو الأرخص.

الدالة الخطية والدالة التآلفية