حل بكالوريا 2014 رياضيات شعبة آداب وفلسفة ولغات أجنبية — الموضوع الثاني مفصّل خطوة بخطوة

1. $v_1=5\times 1+4=9$.
2. $v_2=5\times 9+4=49$.
3. $v_3=5\times 49+4=249$.

الجواب $v_1=9$، $v_2=49$، $v_3=249$.

المتتاليات الهندسية

1. $u_{n+1}=v_{n+1}+1=5v_n+4+1=5v_n+5$.
2. $u_{n+1}=5(v_n+1)=5u_n$.
3. $u_0=v_0+1=2$.

الجواب $u_{n+1}=5u_n$ و $u_0=2$.

المتتاليات الهندسية

1. $u_n=u_0{q}^n=2\times 5^n$.
2. $v_n=u_n-1=2\times 5^n-1$.

الجواب $u_n=2\times 5^n$ و $v_n=2\times 5^n-1$.

المتتاليات الهندسية

1. $1250=2\times 625=2\times 5^4$.
2. $u_n=1250$ تكافئ $2\times 5^n=2\times 5^4$ أي $n=4$.

الجواب $1250=2\times 5^4=u_4$.

القواسم والتحليل إلى جداء عوامل أوليةالمتتاليات الهندسية

1. $n$ حداً، الأول $u_0=2$ والأساس $5$.
2. $S_n=2\times \frac{5^n-1}{5-1}=\frac{5^n-1}{2}$.

الجواب $S_n=\frac{1}{2}\left(5^n-1\right)$

مجموع حدود متتابعة لمتتالية

1. $v_k=u_k-1$ إذن $S_n^{\prime }=S_n-n$ (نطرح $1$ من كل حد، وهناك $n$ حداً).

الجواب $S_n^{\prime }=\frac{1}{2}\left(5^n-1\right)-n$

مجموع حدود متتابعة لمتتالية

1. $1435=5\times 7\times 41$.
2. عدد القواسم $=2\times 2\times 2=8$.

الجواب $8$

القواسم والتحليل إلى جداء عوامل أولية

1. $-1+8=7$ إذن $a\equiv 7[8]$ و $0\le 7<8$.

الجواب $7$

انتبه اختيار $-1$: الباقي لا يكون سالباً أبداً.

القسمة الإقليدية والموافقات

1. $2014-1435=579=3\times 193$، إذن $3$ يقسم الفرق.
2. $579$ فردي فلا يقسمه $2$ ولا $4$.

الجواب $3$

القسمة الإقليدية والموافقات

1. $2^4=16\equiv 1[5]$ إذن $2^9=(2^4{)}^2\times 2\equiv 2[5]$.
2. $x^9\equiv 2$ و $y^9\equiv 2$، ومنه $x^9+y^9\equiv 4[5]$.

الجواب $x^9+y^9\equiv 4[5]$

القسمة الإقليدية والموافقات

1. $27-21=6$، ونكتبها $3\times 9-3\times 7=3\times 2$.
2. $9-7=2$ مضاعف لـ $2$، إذن $9\equiv 7[2]$.
3. تحقق: $9-7=2$ ليس مضاعفاً لـ $6$ ولا لـ $3$.

الجواب $9\equiv 7[2]$

انتبه اختيار (أ) بقسمة الطرفين على $3$ مع إبقاء المقياس $6$: عند القسمة على $3$ يُقسم المقياس أيضاً.

القسمة الإقليدية والموافقات

1. يسار الشكل: المنحنى ينزل بلا حد.
2. يمين الشكل: المنحنى يصعد بلا حد.

الجواب ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ و ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$.

القراءة البيانية ونقطة الانعطاف

1. المنحنى يصعد حتى $x=0$ (قيمة حدية عظمى $5$).
2. ينزل من $x=0$ إلى $x=2$ (قيمة حدية صغرى $1$).
3. ثم يصعد من جديد.

الجواب متزايدة تماماً على $]-\infty ;0]$ و $[2;+\infty [$، متناقصة تماماً على $[0;2]$؛ $f(0)=5$ و $f(2)=1$.

القراءة البيانية ونقطة الانعطافالمشتقة واتجاه التغير

1. $(T)$ يمر بـ $A(1;3)$ وبالنقطة $(2;0)$ (أو $(0;6)$) من الشكل.
2. المعامل الموجه $\frac{0-3}{2-1}=-3$.
3. $y=-3(x-1)+3=-3x+6$.

الجواب $(T):y=-3x+6$

معادلة المماس

1. على يسار $A$ المنحنى تحت المماس، وعلى يمينه فوقه.
2. المنحنى يخترق مماسه في A، وهذا تعريف نقطة الانعطاف.

الجواب $(C_f)$ تحت $(T)$ على $]-\infty ;1[$ وفوقه على $]1;+\infty [$: المنحنى يخترق مماسه في $A$، إذن $A$ نقطة انعطاف.

القراءة البيانية ونقطة الانعطاف

1. المستقيم $y=5$ يمس المنحنى عند $x=0$ ويقطعه عند $x=3$.
2. المنحنى فوق $y=5$ فقط لما $x>3$ (عند $x=0$ لدينا مساواة لا أكبر تماماً).

الجواب $S=]3;+\infty [$

انتبه إضافة $x=0$: هناك $f(0)=5$ والمتراجحة تامة.

القراءة البيانية ونقطة الانعطاف

1. $f(0)=5$ يعطي $b=5$.
2. $f(1)=3$ يعطي $1+a+5=3$ أي $a=-3$.

الجواب $a=-3$ و $b=5$.

القراءة البيانية ونقطة الانعطاف

1. أ) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$: موجبة على $]-\infty ;0[$ و $]2;+\infty [$، سالبة على $]0;2[$.
2. ب) $f(1)=3$ و $f^{\prime }(1)=-3$، إذن $y=-3(x-1)+3=-3x+6$.
3. ج) $f^{\prime \prime }(x)=6x-6$ تنعدم عند $x=1$ وتغيّر إشارتها، إذن $A(1;3)$ نقطة انعطاف.
4. د) $f(x)>5$ تكافئ $x^3-3x^2>0$ أي $x^2(x-3)>0$، ومنه $x>3$: $S=]3;+\infty [$.

الجواب كل النتائج البيانية صحيحة (انظر الخطوات).

المشتقة واتجاه التغيرمعادلة المماسالقراءة البيانية ونقطة الانعطاف