حل بكالوريا 2014 رياضيات شعبة آداب وفلسفة ولغات أجنبية — الموضوع الأول مفصّل خطوة بخطوة

شعبة آداب وفلسفة ولغات أجنبية · الموضوع الأول · على 20 · 18 سؤالاً

التمرين الأول 5 ن

11 ن

عيّن باقي القسمة الإقليدية للعدد $28$ على العدد $9$ .
الحل
1. $28 = 9 \times 3 + 1$ و $0 \leq 1 < 9$ .
الجواب $1$

انتبه الإجابة بـ $3$ : هذا هو حاصل القسمة، لا الباقي.

القسمة الإقليدية والموافقات
21 ن

بيّن أنّه من أجل كل عدد طبيعي $k$ : $1 0^{k} \equiv 1 [9]$ .
الحل
1. $10 = 9 \times 1 + 1$ إذن $10 \equiv 1 [9]$ .
2. نرفع الطرفين إلى القوة $k$ : $1 0^{k} \equiv 1^{k} [9]$ .
3. و $1^{k} = 1$ ، ومنه $1 0^{k} \equiv 1 [9]$ .
الجواب $10 \equiv 1 [9]$ إذن $1 0^{k} \equiv 1^{k} = 1 [9]$ .

القسمة الإقليدية والموافقات
31 ن

استنتج أنّ: $4 \times 1 0^{4} + 3 \times 1 0^{3} + 2 \times 1 0^{2} + 28 \equiv 1 [9]$ .
الحل
1. حسب السؤال 2: $1 0^{4} \equiv 1 0^{3} \equiv 1 0^{2} \equiv 1 [9]$ .
2. إذن المجموع $\equiv 4 \times 1 + 3 \times 1 + 2 \times 1 + 28 [9]$ .
3. $4 + 3 + 2 + 28 = 37$ و $37 = 9 \times 4 + 1$ .
4. ومنه المجموع $\equiv 1 [9]$ .
الجواب $\equiv 4 + 3 + 2 + 28 = 37 \equiv 1 [9]$ .

القسمة الإقليدية والموافقات
4 أ1 ن

تحقّق أنّ: $2^{3} \equiv - 1 [9]$ .
الحل
1. $2^{3} = 8$ و $8 + 1 = 9$ مضاعف لـ $9$ .
2. إذن $8 \equiv - 1 [9]$ .
الجواب $2^{3} + 1 = 9 \equiv 0 [9]$ .

القسمة الإقليدية والموافقات
4 ب1 ن

عيّن الأعداد الطبيعية $n$ بحيث: $2^{6 n} + n - 1 \equiv 0 [9]$ .
الحل
1. $2^{6 n} = (2^{3})^{2 n} \equiv (- 1)^{2 n} = 1 [9]$ .
2. إذن $2^{6 n} + n - 1 \equiv 1 + n - 1 = n [9]$ .
3. الشرط يصبح $n \equiv 0 [9]$ ، أي $n$ مضاعف لـ $9$ .
الجواب $n = 9 k$ حيث $k$ عدد طبيعي.

انتبه نسيان أن $(- 1)^{2 n} = 1$ لأن الأس زوجي دائماً.

القسمة الإقليدية والموافقات

التمرين الثاني 6 ن

عيّن الاقتراح الصحيح الوحيد من بين الاقتراحات الثلاثة، في كل حالة من الحالات الأربعة الآتية، مع التعليل:

11,5 ن

$(u_{n})$ متتالية حسابية أساسها $3$ وحدّها $u_{2} = 1$ . الحد العام للمتتالية $(u_{n})$ هو:
- أ $u_{n} = 1 + 3 n$
- ب $u_{n} = 7 + 3 n$
- ج $u_{n} = - 5 + 3 n$
الحل
1. $u_{n} = u_{2} + (n - 2) \times 3$ .
2. $u_{n} = 1 + 3 n - 6 = - 5 + 3 n$ .
3. تحقق سريع: $u_{2} = - 5 + 6 = 1$ .
الجواب $u_{n} = - 5 + 3 n$

انتبه اختيار (أ) باستعمال $u_{n} = u_{0} + n r$ مع $u_{0} = 1$ : المعطى هو $u_{2}$ لا $u_{0}$ .

المتتاليات الحسابية
21,5 ن

$n$ عدد طبيعي. المجموع $1 + 2 + 3 + \dots + n$ يساوي:
- أ $\frac{n ^{2} + n}{2}$
- ب $\frac{n ( n - 1 )}{2}$
- ج $\frac{n ^{2} + 1}{2}$
الحل
1. مجموع $n$ حداً من متتالية حسابية حدها الأول $1$ وأخيرها $n$ : $\frac{n ( 1 + n )}{2}$ .
2. $\frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n ^{2} + n}{2}$ .
الجواب $\frac{n ^{2} + n}{2}$

المتتاليات الحسابية
31,5 ن

$x$ عدد حقيقي. تكون الأعداد $x + 1$ ، $x$ ، $x - 2$ بهذا الترتيب حدوداً متعاقبة لمتتالية هندسية إذا كان:
- أ $x = 3$
- ب $x = 5$
- ج $x = - 2$
الحل
1. الشرط: مربع الحد الأوسط يساوي جداء الطرفين: $x^{2} = (x + 1) (x - 2)$ .
2. $x^{2} = x^{2} - x - 2$ إذن $- x - 2 = 0$ .
3. $x = - 2$ (الأعداد: $- 1, - 2, - 4$ بأساس $2$ ).
الجواب $x = - 2$

المتتاليات الهندسية
41,5 ن

$(v_{n})$ متتالية هندسية معرّفة على $N$ ، حدّها العام $v_{n} = 2 \times 3^{n + 1}$ . أساس المتتالية $(v_{n})$ هو:
- أ $2$
- ب $3$
- ج $6$
الحل
1. $v_{n + 1} = 2 \times 3^{n + 2} = 3 \times (2 \times 3^{n + 1}) = 3 v_{n}$ .
الجواب $3$

انتبه اختيار (ج) لأن $v_{0} = 6$ : هذا هو الحد الأول لا الأساس.

المتتاليات الهندسية

التمرين الثالث 9 ن

f

الدالة العددية المعرّفة على

R - {- 2}

كما يلي:

f (x) = \frac{2 x + 1}{x + 2}

(C_{f})

المنحنى الممثل للدالة

f

في معلم متعامد ومتجانس

(O; i, j)

10,5 ن

عيّن العدد الحقيقي $α$ بحيث من أجل كل $x$ من $R - {- 2}$ : $f (x) = α - \frac{3}{x + 2}$ .
الحل
1. $2 x + 1 = 2 (x + 2) - 3$ .
2. إذن $f (x) = \frac{2 ( x + 2 ) - 3}{x + 2} = 2 - \frac{3}{x + 2}$ .
الجواب $α = 2$

الدالة التناظرية: الكتابة، النهايات والمقاربات
21 ن

عيّن النقط من المنحنى $(C_{f})$ التي إحداثياتها أعداد صحيحة.
الحل
1. $f (x) = 2 - \frac{3}{x + 2}$ عدد صحيح إذا وفقط إذا كان $x + 2$ قاسماً لـ $3$ .
2. قواسم $3$ في $Z$ : $- 3, - 1, 1, 3$ ، إذن $x \in {- 5, - 3, - 1, 1}$ .
3. $f (- 5) = 3$ ، $f (- 3) = 5$ ، $f (- 1) = - 1$ ، $f (1) = 1$ .
الجواب $(- 5; 3)$ ، $(- 3; 5)$ ، $(- 1; - 1)$ ، $(1; 1)$ .

الدالة التناظرية: الكتابة، النهايات والمقاربات القواسم والتحليل إلى جداء عوامل أولية
32,5 ن

احسب نهاية الدالة $f$ عند كل حد من حدود مجالي تعريفها.
الحل
1. عند $\pm \infty$ : $\frac{3}{x + 2} \to 0$ إذن $f (x) \to 2$ .
2. إذا $x \to - 2$ مع $x < - 2$ : $x + 2 \to 0^{-}$ فـ $- \frac{3}{x + 2} \to + \infty$ ، إذن $f (x) \to + \infty$ .
3. إذا $x \to - 2$ مع $x > - 2$ : $x + 2 \to 0^{+}$ فـ $- \frac{3}{x + 2} \to - \infty$ ، إذن $f (x) \to - \infty$ .
الجواب $lim_{\pm \infty} f = 2$ ، $lim_{x \to - 2^{-}} f = + \infty$ ، $lim_{x \to - 2^{+}} f = - \infty$ .

انتبه عكس الإشارتين عند $- 2$ بسبب الناقص أمام الكسر.

الدالة التناظرية: الكتابة، النهايات والمقاربات
4 أ1 ن

بيّن أنّه من أجل كل $x$ من $R - {- 2}$ : $f^{'} (x) = \frac{3}{( x + 2 ) ^{2}}$ .
الحل
1. $u = 2 x + 1$ ، $u^{'} = 2$ ؛ $v = x + 2$ ، $v^{'} = 1$ .
2. $f^{'} (x) = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} = \frac{2 ( x + 2 ) - ( 2 x + 1 )}{( x + 2 ) ^{2}}$ .
3. البسط: $2 x + 4 - 2 x - 1 = 3$ .
الجواب $f^{'} (x) = \frac{2 ( x + 2 ) - ( 2 x + 1 )}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{3}{( x + 2 ) ^{2}}$ .

المشتقة واتجاه التغير
4 ب0,5 ن

شكّل جدول تغيرات الدالة $f$ .
الحل
1. $(x + 2)^{2} > 0$ و $3 > 0$ إذن $f^{'} (x) > 0$ على كل مجال.
2. على $] - \infty; - 2 [$ : $f$ تتزايد من $2$ إلى $+ \infty$ .
3. على $] - 2; + \infty [$ : $f$ تتزايد من $- \infty$ إلى $2$ .
الجواب $f^{'} (x) > 0$ : $f$ متزايدة تماماً على $] - \infty; - 2 [$ وعلى $] - 2; + \infty [$ ، من $2$ إلى $+ \infty$ ثم من $- \infty$ إلى $2$ .

المشتقة واتجاه التغير
50,5 ن

عيّن إحداثيات نقط تقاطع المنحنى $(C_{f})$ مع حاملي محوري الإحداثيات.
الحل
1. مع محور التراتيب: $x = 0$ ، $f (0) = \frac{1}{2}$ .
2. مع محور الفواصل: $f (x) = 0$ يعني $2 x + 1 = 0$ أي $x = - \frac{1}{2}$ .
الجواب $M (0; \frac{1}{2})$ و $N (- \frac{1}{2}; 0)$ .

الدالة التناظرية: الكتابة، النهايات والمقاربات
6 أ1 ن

اكتب معادلة المماس $(Δ)$ للمنحنى $(C_{f})$ عند النقطة $A$ ذات الفاصلة $- 1$ .
الحل
1. $f (- 1) = \frac{- 1}{1} = - 1$ و $f^{'} (- 1) = \frac{3}{1} = 3$ .
2. $y = f^{'} (- 1) (x + 1) + f (- 1) = 3 (x + 1) - 1$ .
3. $y = 3 x + 2$ .
الجواب $(Δ) : y = 3 x + 2$

معادلة المماس
6 ب0,5 ن

بيّن أنّه يوجد مماس آخر $(Δ^{'})$ للمنحنى $(C_{f})$ يوازي المستقيم $(Δ)$ .
الحل
1. $f^{'} (x) = 3$ تكافئ $(x + 2)^{2} = 1$ ، أي $x = - 1$ أو $x = - 3$ .
2. $x = - 1$ يعطي $(Δ)$ نفسه، و $x = - 3$ يعطي مماساً آخر.
3. $f (- 3) = 5$ ، إذن $(Δ^{'}) : y = 3 (x + 3) + 5 = 3 x + 14$ .
الجواب عند $x = - 3$ : $(Δ^{'}) : y = 3 x + 14$ .

معادلة المماس
71,5 ن

ارسم المماس $(Δ)$ والمنحنى $(C_{f})$ .
الحل
1. ارسم المقاربين $x = - 2$ و $y = 2$ أولاً.
2. ضع النقط $(- 5; 3)$ ، $(- 3; 5)$ ، $(- 1; - 1)$ ، $(1; 1)$ ، $(0; \frac{1}{2})$ .
3. ارسم المماس $y = 3 x + 2$ المار بـ $(- 1; - 1)$ و $(0; 2)$ ، ثم فرعي المنحنى.
الجواب انظر الرسم: المستقيمان المقاربان $x = - 2$ و $y = 2$ ، المماس، والنقط الصحيحة.

الدالة التناظرية: الكتابة، النهايات والمقاربات معادلة المماس