حل بكالوريا 2014 هندسة مدنية شعبة تقني رياضي — الموضوع الأول مفصّل خطوة بخطوة

1. محصلة كل حمولة موزعة: $20\times 2=40\text{kN}$.
2. مجموع الحمولات: $2\times 40+2\times 60=200\text{kN}$.
3. بالتناظر (أو بـ $\sum M_{/B}=0$): $R_A=R_B=\frac{200}{2}=100\text{kN}$، والرد الأفقي في A منعدم.

الجواب $R_A=100\text{kN}$ و $R_B=100\text{kN}$

ردود الأفعال في المساند (توازن جملة مستوية)

1. القطع 1-1 ($0\le x\le 2$، من B): $T_1(x)=-20x+100$ ؛ $T_1(0)=100\text{kN}$ ، $T_1(2)=60\text{kN}$.
2. $M_{f1}(x)=100x-20\frac{x^2}{2}=-10x^2+100x$ ؛ $M_1(0)=0$ ، $M_1(2)=160\text{kN}\cdot \text{m}$.
3. القطع 2-2 ($2\le x\le 3$): $T_2=100-40-60=0$ و $M_{f2}=160\text{kN}\cdot \text{m}$ (ثابت).
4. القطع 3-3 من الجهة اليمنى ($0\le x\le 2$ من A): $T_3(x)=20x-100$ ؛ $T_3(0)=-100\text{kN}$ ، $T_3(2)=-60\text{kN}$.
5. $M_{f3}(x)=-10x^2+100x$ ؛ $M_3(0)=0$ ، $M_3(2)=160\text{kN}\cdot \text{m}$.

الجواب $0\le x\le 2$: $T=-20x+100$ ، $M_f=-10x^2+100x$ ؛ $2\le x\le 3$: $T=0$ ، $M_f=160\text{kN}\cdot \text{m}$ ؛ من الجهة الأخرى $0\le x\le 2$: $T=20x-100$ ، $M_f=-10x^2+100x$.

انتبه نسيان القوة المركزة 60 kN عند الانتقال إلى المجال 2-2.

الجهد القاطع T وعزم الانحناء Mf ومنحنياتهما

1. منحنى $T$: قطعة مستقيمة من $(0;100)$ إلى $(2;60)$، قفزة بـ $60\text{kN}$ إلى $0$.
2. $T=0$ على $[2;3]$، ثم قفزة إلى $-60$ وقطعة مستقيمة إلى $(5;-100)$.
3. منحنى $M_f$: قوس قطع مكافئ من $0$ إلى $160\text{kN}\cdot \text{m}$ عند $x=2$.
4. قطعة أفقية $M_f=160$ على $[2;3]$، ثم قوس متناظر ينزل إلى $0$ عند $x=5$.

الجواب $T$: من $100$ إلى $60\text{kN}$ (خطي)، قفزة إلى $0$، ثابت $0$ على المتر الأوسط، قفزة إلى $-60$ ثم خطي إلى $-100\text{kN}$. $M_f$: قطع مكافئ من $0$ إلى $160\text{kN}\cdot \text{m}$، ثابت $160$ في الوسط، ثم ينزل إلى $0$.

الجهد القاطع T وعزم الانحناء Mf ومنحنياتهما

1. من المنحنيين: $|T|$ أعظمي عند المسندين: $T_{\max }=100\text{kN}$.
2. $M_f$ أعظمي على المجال الأوسط حيث $T=0$: $M_{f\max }=160\text{kN}\cdot \text{m}$.

الجواب $M_{f\max }=160\text{kN}\cdot \text{m}$ و $T_{\max }=100\text{kN}$

الجهد القاطع T وعزم الانحناء Mf ومنحنياتهما

1. ${\sigma }_{\max }=\frac{M_{\max }}{I}v$ مع $v=\frac{h}{2}=20\text{cm}$.
2. $I=\frac{25\times 40^3}{12}=133333,33{\text{cm}}^4$ و $\frac{I}{v}=6666,66{\text{cm}}^3$.
3. $M_{\max }=160\text{kN}\cdot \text{m}=160\times 10^4\text{daN}\cdot \text{cm}$.
4. ${\sigma }_{\max }=\frac{160\times 10^4}{6666,66}=239,99{\text{daN/cm}}^2$.

الجواب ${\sigma }_{\max }=239,99\approx 240{\text{daN/cm}}^2$

انتبه عدم تحويل kN·m إلى daN·cm (×10⁴).

الانحناء البسيط: عزم العطالة والإجهادات والتحقق من المقاومة

1. ${\tau }_{\max }=\frac{3}{2}\frac{T_{\max }}{\Omega }$ مع $\Omega =25\times 40=1000{\text{cm}}^2$.
2. $T_{\max }=100\text{kN}=100\times 10^2\text{daN}$.
3. ${\tau }_{\max }=\frac{3\times 100\times 10^2}{2\times 1000}=15{\text{daN/cm}}^2$.

الجواب ${\tau }_{\max }=15{\text{daN/cm}}^2$

الانحناء البسيط: عزم العطالة والإجهادات والتحقق من المقاومة

1. عدد العقد $n=5$ (A, B, C, D, E) وعدد القضبان $b=7$ (AE, EC, AC, CD, AD, DB, BC).
2. $2n-b=10-7=3$: الشرط محقق.

الجواب $2n-b=2\times 5-7=3$: الجملة محددة سكونياً.

الجمل المثلثية: السكونية وطريقة عزل العقد

1. $\sum F_x=0$: $R_{Ax}-12=0$ إذن $R_{Ax}=12\text{kN}$ (نحو اليمين).
2. $\sum M_{/A}=0$: $4R_{By}-30\times 2+12\times 1,5=0$ إذن $R_{By}=\frac{42}{4}=10,5\text{kN}$.
3. $\sum F_y=0$: $R_{Ay}=40+30-10,5=59,5\text{kN}$.

الجواب $R_{Ay}=59,50\text{kN}$ ، $R_{By}=10,5\text{kN}$ ، $R_{Ax}=12\text{kN}$

انتبه نسيان عزم القوة الأفقية F3 حول A (ذراعها 1,50 m).

ردود الأفعال في المساند (توازن جملة مستوية)

1. العقدة B: $\sum F_y$: $N_{BC}\cos 53,13^{\circ }+10,5=0$ إذن $N_{BC}=-17,5\text{kN}$ (ضغط).
2. $\sum F_x$: $-N_{DB}-N_{BC}\cos 36,87^{\circ }=0$ إذن $N_{DB}=14\text{kN}$ (شد).
3. العقدة D: AD و DB على استقامة و DC عمودي دون حمولة: $N_{AD}=N_{DB}=14\text{kN}$ (شد) و $N_{DC}=0$ (تركيبي).

الجواب $N_{DB}=14\text{kN}$ شد ؛ $N_{BC}=-17,5\text{kN}$ ضغط ؛ $N_{AD}=14\text{kN}$ شد ؛ $N_{DC}=0$ (تركيبي).

الجمل المثلثية: السكونية وطريقة عزل العقد

1. العقدة A: $\sum F_x$: $N_{AD}+N_{AC}\cos 36,87^{\circ }+12=0$ إذن $N_{AC}=\frac{-26}{0,8}=-32,5\text{kN}$ (ضغط).
2. $\sum F_y$: $59,5+N_{AE}+N_{AC}\cos 53,13^{\circ }=0$ إذن $N_{AE}=-59,5+19,5=-40\text{kN}$ (ضغط).
3. العقدة E: $\sum F_x$: $N_{EC}=0$ (تركيبي)؛ $\sum F_y$: $-40-N_{AE}=0$ يؤكد $N_{AE}=-40\text{kN}$.

الجواب $N_{AC}=-32,5\text{kN}$ ضغط ؛ $N_{AE}=-40\text{kN}$ ضغط ؛ $N_{EC}=0$ (تركيبي).

الجمل المثلثية: السكونية وطريقة عزل العقد

1. العقدة C: $-N_{EC}-12-N_{AC}\cos 36,87^{\circ }+N_{BC}\cos 36,87^{\circ }=0$: $0-12+26-14=0$ محقق.
2. $-N_{AC}\cos 53,13^{\circ }-N_{DC}-N_{BC}\cos 53,13^{\circ }-30=0$: $19,5-0+10,5-30=0$ محقق.
3. الجدول: AE = 40 (C) ؛ AC = 32,5 (C) ؛ AD = 14 (T) ؛ DC = 0 (تركيبي) ؛ DB = 14 (T) ؛ BC = 17,5 (C) ؛ EC = 0 (تركيبي).

الجواب AE: 40 ضغط ؛ AC: 32,5 ضغط ؛ AD: 14 شد ؛ DC: 0 ؛ DB: 14 شد ؛ BC: 17,5 ضغط ؛ EC: 0 (بالـ kN).

الجمل المثلثية: السكونية وطريقة عزل العقد

1. $\sigma =\frac{N}{2S}\le \bar{\sigma }$ إذن $S\ge \frac{N}{2\bar{\sigma }}$.
2. $S\ge \frac{40\times 100}{2\times 1600}=1,25{\text{cm}}^2$.
3. أصغر مجنب يحقق ذلك: $25\times 3$ بمساحة $1,42{\text{cm}}^2$.

الجواب $S\ge 1,25{\text{cm}}^2$: المجنب $25\times 3$ ($1,42{\text{cm}}^2$).

انتبه نسيان أن القضيب مكون من مجنبين (2S).

الشد والضغط البسيط: التحجيم والاستطالة والتشوه النسبي

1. $\Delta L=\frac{NL}{E\times 2S_1}$ مع $N=4000\text{daN}$ و $L=150\text{cm}$.
2. $\Delta L=\frac{4000\times 150}{2,1\times 10^6\times 2\times 1,42}=0,10\text{cm}$.
3. $\Delta L=1\text{mm}$ (تقصير لأن القضيب مضغوط).

الجواب $\Delta L=0,10\text{cm}=1\text{mm}$

الشد والضغط البسيط: التحجيم والاستطالة والتشوه النسبي

1. $\Delta X_{AB}=165>0$ و $\Delta Y_{AB}=92>0$: الاتجاه AB في الربع الأول.
2. $\tan g=\left|\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right|=\frac{165}{92}=1,79$.
3. $G_{AB}=g=67,62\text{gr}$.

الجواب $G_{AB}=67,62\text{gr}$

السمت والمسافة ومساحة قطعة أرض بالإحداثيات القطبية

1. $\Delta X_{AC}=70>0$ و $\Delta Y_{AC}=-83<0$: الربع الثاني.
2. $\tan g=\frac{70}{83}=0,843$ إذن $g=44,60\text{gr}$.
3. $G_{AC}=200-44,60=155,40\text{gr}$.

الجواب $G_{AC}=155,40\text{gr}$

انتبه أخذ G = g دون تصحيح الربع.

السمت والمسافة ومساحة قطعة أرض بالإحداثيات القطبية

1. $L_{AB}=\sqrt{165^2+92^2}=188,92\text{m}$.
2. $L_{AC}=\sqrt{70^2+83^2}=108,58\text{m}$.

الجواب $L_{AB}=188,92\text{m}$ و $L_{AC}=108,58\text{m}$

السمت والمسافة ومساحة قطعة أرض بالإحداثيات القطبية

1. $S=\frac{1}{2}{L}_{AB}{L}_{AC}\sin (G_{AC}-G_{AB})$.
2. $G_{AC}-G_{AB}=155,40-67,62=87,78\text{gr}$.
3. $S=\frac{1}{2}\times 188,92\times 108,58\times \sin (87,78\text{gr})=10068,09{\text{m}}^2$.

الجواب $S\approx 10068{\text{m}}^2$

انتبه حساب الجيب والآلة في وضع الدرجات.

السمت والمسافة ومساحة قطعة أرض بالإحداثيات القطبية

1. الأرض يساراً (7%): عند حافة المنصة $101-0,07\times 5=100,65$.
2. قدم الردم: $101-\frac{2}{3}d=100,65-0,07d$ إذن $d=\frac{0,35}{0,5967}=0,586\text{m}$ والمنسوب $100,608$ (الأرض = المشروع).
3. الأرض يميناً (8%): $101+0,08\times 5=101,40$ ثم عند $6,50\text{m}$: $101+0,08\times 6,5=101,52$ (المشروع $101$ عند حافة الخندق).
4. رأس الحفر 1/1: $101+d=101,52+0,08d$ إذن $d=0,56\text{m}$ والمنسوب $101,56$.
5. المسافات الجزئية: $0,586$ ؛ $5,00$ ؛ $5,00$ ؛ $1,50$ ؛ $0,56$.
6. المتراكمة من المحور: يساراً $5,00$ ثم $5,586$ ؛ يميناً $5,00$ ثم $6,50$ ثم $7,06$.
7. سلم التنقيط: 6 مناسيب × 0,25، مسافات جزئية 2 × 0,5، متراكمة 2 × 0,25.

الجواب من اليسار إلى اليمين: الأرض: $100,608$ ؛ $100,65$ ؛ $101$ ؛ $101,40$ ؛ $101,52$ ؛ $101,56$. المشروع: $100,608$ ؛ $101$ ؛ $101$ ؛ $101$ ؛ $101$ ؛ $101,56$. الجزئية: $0,586$ ؛ $5,00$ ؛ $5,00$ ؛ $1,50$ ؛ $0,56$. المتراكمة: $5,586$ ؛ $5,00$ ؛ $0,00$ ؛ $5,00$ ؛ $6,50$ ؛ $7,06$.

المظهر العرضي للطريق

1. المسقط الأفقي يعطي منظراً أفقياً للطريق (مساره، قطعه المستقيمة ومنحنياته).
2. يظهر مناطق الحفر ومناطق الردم.

الجواب إعطاء منظر أفقي للطريق، وإظهار مناطق الحفر والردم.

عناصر الطريق ووثائق المشروع